北京市高级中等学校招生考试数学模拟试题一

修改时间：2021-05-20 浏览次数：208 类型：中考模拟编辑

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一、选择题（本题共16分,每小题2分第1-8题均有四个选。正确选项只有一个）.

1. 2019 新型冠状病毒（2019-nCoV），因2019 年武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020 年1月12日被世界卫生组织命名. 疫情发生以后, 国家发改委2 月7 日紧急下达第二批中央预算内投资2 亿元人民币，专项补助承担重症感染患者救治任务的湖北多家医院重症治疗病区建设，其中数据2 亿用科学记数法表示为（）

A . 2×10⁷ B . 2×10⁸ C . 20×10⁷ D . 0.2×10⁸

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2. 下列图形中，为轴对称图形的是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . B . C . D .

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3. 小明同学画了一个正多边形, 他妹妹不小心给撕掉了一部分, 用量角器测量该正多边形的一个外角为45°, 则小明画的是正多边形的内角和是（）

A . 360° B . 540° C . 720° D . 1080°

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4. 如图，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四个点在数轴上表示的数分别为、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则下列结论中，不正确是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知直线 $\text{[math]}$ 及直线 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ ．如图（1）在直线 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画半圆，交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点；（2）连接 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交半圆于点 $\text{[math]}$ ；（3）作直线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不正确是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 用反证法证明命题” 三角形中至少有一个内角不大于60°”, 首先应假设三角形中（）

A . 没有一个角不小于60° B . 没有一个角不大于60° C . 所有内角均不大于60° D . 所有内角均不小于60°

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8. 如图所示是小刚一天中的作息时间分配的扇形统计图如果小刚希望把自己每天的阅读时间调整为2.5小时，那么他的阅读时间需增加 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . 48分钟 B . 60分钟 C . 90分钟 D . 105分钟

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二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）

9. 当 $\text{[math]}$ 时，分式 $\text{[math]}$ 的值为0．

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10. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

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11. 由 $\text{[math]}$ 个相同的正方体组成一个立体图形，如图的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，设 $\text{[math]}$ 能取到的最大值a，则多项式 $\text{[math]}$ 的值是．

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12. 在 $\text{[math]}$ 中，将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 按如图所示方式折叠，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均落于边 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 处，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为折痕．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

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13. 如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点在双曲线 $\text{[math]}$ 上，分别经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点向坐标轴作垂线段，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图①，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若直角三角形一个锐角为 $\text{[math]}$ ，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”设 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分面积为（用含的代数式表示）

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15. 若八个数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平均数为8，方差为1，增加一个数据8后所得的九个数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与8的平均数 $\text{[math]}$ 8，方差为 $\text{[math]}$ 1．（填“<”、“>”、“=” $\text{[math]}$

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16. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，对于下面四个结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 为等腰三角形；④ $\text{[math]}$ ，
其中正确结论的序号为．

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三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）

17. 计算： $\text{[math]}$

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18. 解不等式组 $\text{[math]}$

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19. 已知关于的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：对于任意实数 $\text{[math]}$ ，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，求 $\text{[math]}$ 的值及方程的另一个根．

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20. $\text{[math]}$ 在边长为1的正方形网格中如图所示．

（1）以点 $\text{[math]}$ 为位似中心，作出 $\text{[math]}$ 的位似图形△ $\text{[math]}$ ，使其位似比为 $\text{[math]}$ ．且△ $\text{[math]}$ 位于点 $\text{[math]}$ 的异侧，并表示出 $\text{[math]}$ 的坐标．

（2）作出 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 后的图形△ $\text{[math]}$ ．

（3）在（2）的条件下求出点 $\text{[math]}$ 经过的路径长．

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21. 如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．

（1）求证：∠HEA=∠CGF；

（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．

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22. 新华社消息：法国教育部宣布，小学和初中于2018年9月新学期开始，禁止学生在校使用手机．为了解学生手机使用情况，包河区某学校开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，图②的统计图．已知“查资料”的人数为42．

（1）本次抽样调查一共抽取了人；补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角的度数为度；

（3）该校共有学生2100人，请估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．

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23. 如图，为了测量一栋楼的高度 $\text{[math]}$ ，小明同学先在操场上 $\text{[math]}$ 处放一面镜子，向后退到 $\text{[math]}$ 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 $\text{[math]}$ ；再将镜子放到 $\text{[math]}$ 处，然后后退到 $\text{[math]}$ 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上），测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果小明眼睛距地面高度 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，试确定楼的高度 $\text{[math]}$ ．

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24. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上．

（1）如图1，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度；

（2）如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，旋转过程中，直线 $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；

（3）如图3，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，使得点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一条直线上，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系并证明．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）已知点 $\text{[math]}$ 在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的2倍，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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26. 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的勾股点，已知 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）如果点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的勾股点（点 $\text{[math]}$ 不在点 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）如果 $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标轴建立如图2的直角坐标系，在轴上取点 $\text{[math]}$ ．在线段 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 轴，交轴于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．
①当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 之间，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切，试求 $\text{[math]}$ 的值；

②当直线 $\text{[math]}$ 上恰好有2点是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的勾股点时，试求相应 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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27. 某数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示这三个数的平均数，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示这三个数中最小的数，例如： $\text{[math]}$ ，3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，5， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，5， $\text{[math]}$ ．请结合上述材料，解决下列问题：

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求的值；

（3）若 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，求的值．

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28. 如图，在直角坐标系中有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将此三角形绕原点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象刚好经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）过定点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与二次函数图象相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．
①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②证明：无论 $\text{[math]}$ 为何值， $\text{[math]}$ 恒为直角三角形．

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一、选择题（本题共16分,每小题2分第1-8题均有四个选。正确选项只有一个）.

二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）

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