2017年湖南省衡阳市常宁市高考数学压轴试卷（理科）

修改时间：2024-07-12 浏览次数：240 类型：高考模拟编辑

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一、选择题

1. 设复数z满足 $\text{[math]}$ =1﹣i，则复数z在复平面内的对应的点在（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. 已知集合A={y|y=2cos²x﹣1}，B={x|y= $\text{[math]}$ }，则A∪B=（）

A . {x|﹣1≤x≤0} B . {x|0≤x＜1} C . {x|﹣1＜x＜2} D . {x|﹣1≤x≤2}

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3. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（）

A . 4 B . ﹣5 C . 14 D . ﹣23

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4. 下列选项中，错误的是（）

A . 若p为真，则￢（￢p）也为真 B . 若“p∧q为真”，则“p∨q为真”为真命题 C . ∃x∈R，使得tanx=2017 D . “2^x＞ $\text{[math]}$ ”是“log $\text{[math]}$ x＜0”的充分不必要条件

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5. 在如图所示的矩形中随机投掷30000个点，则落在曲线C下方（曲线C为正态分布N（1，1）的正态曲线）的点的个数的估计值为（）

A . 4985 B . 8185 C . 9970 D . 24555

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6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为 $\text{[math]}$ ，则该几何体的俯视图可以是（）

A . B . C . D .

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7. 设x₀是方程（ $\text{[math]}$ ）^x= $\text{[math]}$ 的解，则x₀所在的范围是（）

A . （0， $\text{[math]}$ ） B . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） C . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） D . （ $\text{[math]}$ ，1）

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8. 函数f（x）=|x|﹣ $\text{[math]}$ （a∈R）的图象不可能是（）

A . B . C . D .

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9. 已知奇函数y=f（x），x∈R，a= $\text{[math]}$ [f（x）+ $\text{[math]}$ x²]dx，则二项式（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）⁹的展开式的常数项为（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . ﹣1 D . ﹣ $\text{[math]}$

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10. 如图，圆锥的高PO= $\text{[math]}$ ，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则点B到平面PAC的距离（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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11. 已知A是双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的左顶点，F₁ ， F₂分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△F₁PF₂的重心，若 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=8，则双曲线的标准方程为（）

A . x²﹣ $\text{[math]}$ =1 B . $\text{[math]}$ ﹣y²=1 C . $\text{[math]}$ =1 D . x²﹣ $\text{[math]}$ =1

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12. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ =（1，2）， $\text{[math]}$ =（x，﹣1），若 $\text{[math]}$ ∥（ $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为．

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14. 若实数x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，若a＜ $\text{[math]}$ 恒成立，则a的取值范围为．

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15. 已知抛物线y²=4x的焦点F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则4|FA|+|FB|的最小值为．

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16. 已知锐角△ABC的外接圆O的半径为1，∠B= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 设数列{a_n}是公差大于0的等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=9，且2a₁ ， a₃﹣1，a₄+1构成等比数列．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若数列{b_n}满足 $\text{[math]}$ =2ⁿ^﹣¹（n∈N^*），设T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜6．

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18. 某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：

（1）记事件A为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g的小龙虾”，求P（A）的估计值；

（2）若购进这批小龙虾100千克，试估计这批小龙虾的数量；

（3）为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这40只小龙虾分成三个等级，如下表：
等级
一等品
二等品
三等品
重量（g）
[5，25）
[25，45）
[45，55]
按分层抽样抽取10只，再随机抽取3只品尝，记X为抽到二等品的数量，求抽到二级品的期望．

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19. 如图，AB=BE=BC=2AD=2，且AB⊥BE，∠DAB=60°，AD∥BC，BE⊥AD，
（Ⅰ）求证：面ADE⊥面 BDE；
（Ⅱ）求直线AD与平面DCE所成角的正弦值．．

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20. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）上点P，其左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， △PF₁F₂的面积的最大值为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ =3

（1）求椭圆E的方程；

（2）若A，B，C，D是椭圆上互不重合的四个点，AC与BD相交于F₁ ，且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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21. 设函数f（x）=e^x+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．

（1）若x=0是F（x）的极值点，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q两点间的最短距离；

（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．

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22. 已知直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ²﹣4ρsinθ+2=0．
（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．

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23. 已知函数f（x）=|x+a|+|x+ $\text{[math]}$ |（a＞0）

（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；

（2）证明：f（m）+f（﹣ $\text{[math]}$ ）≥4．

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等级	一等品	二等品	三等品
重量（g）	[5，25）	[25，45）	[45，55]

2017年湖南省衡阳市常宁市高考数学压轴试卷（理科）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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