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题型：实践探究题题类：难易度：困难

2023年广东省梅州市五华县中考一模数学试题

【定义】

对角线相等且所夹锐角为 $\text{[math]}$ 的四边形叫“ $\text{[math]}$ 等角线四边形”．

如图1，四边形 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 等角线四边形”，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

【定义探究】

（1）判断下列四边形是否为“ $\text{[math]}$ 等角线四边形”，如果是在括号内打“√”，如果不是打“×”．

①对角线所夹锐角为 $\text{[math]}$ 的平行四边形．（）

②对角线所夹锐角为 $\text{[math]}$ 的矩形．（）

③对角线所夹锐角为 $\text{[math]}$ ，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．（）

【性质探究】

（2）如图2，以 $\text{[math]}$ 为边，向下构造等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系；

（3）请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由；

【应用提升】

（4）若“ $\text{[math]}$ 等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为________．

举一反三

如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）

已知等边三角形的高为 $\text{[math]}$ ，则它的边长为（）

如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形。

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= $\text{[math]}$ 与y轴交于点A，顶点为B，直线l：y=- $\text{[math]}$ x+b经过点A，与抛物线的对称轴交于点C，点P是对称轴上的一个动点，若AP+ $\text{[math]}$ PC的值最小，则点P的坐标为（）

点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB ， △PBC ， △PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（）

（1）如图①，在 $\text{[math]}$ 中，点M，N分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

问题探究

（2）如图②，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上的靠近点A的三等分点，点F为 $\text{[math]}$ 上的动点，将 $\text{[math]}$ 折叠，点A的对应点G，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

问题解决

（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C处为参观入口， $\text{[math]}$ 的中点P处规划为“优秀”作品展台，求点C与点P之间的最小距离．

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