- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：普通

浙江省宁波市第十五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

综合与实践

【问题提出】

勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点 $\text{[math]}$ 将线段AB分成两部分 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.

（1）、【初步感知】

如图1，若 $\text{[math]}$ ，求临金比 $\text{[math]}$ 的值.

（2）、【类比探究】

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是BC边上一点，AD将 $\text{[math]}$ 分割成两个三角形（ $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ，则称AD为 $\text{[math]}$ 的黄金分割线.

①求证：点D是线段BC的黄金分割点：

②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.

（3）、【拓展应用】

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于 $\text{[math]}$ ，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是 $\text{[math]}$ 的黄金分割线吗?并说明理由.

举一反三

已知线段 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是它的黄金分割点， $\text{[math]}$ ，设以 $\text{[math]}$ 为边的正方形的面积为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为邻边的矩形的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系是{#blank#}1{#/blank#}.

【综合与探究】问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，可证 $\text{[math]}$ ．小慧的证明思路是：如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，构造相似三角形来证明 $\text{[math]}$ ．