- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年八年级上学期数学创新素养试卷

问题情境：如图 $\text{[math]}$ ，在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，可知： $\text{[math]}$ 不需要证明 $\text{[math]}$ ；

（1）、特例探究：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 在这个角的内部，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 证明： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

（2）、归纳证明：如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部的射线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的外角．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

（3）、拓展应用：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和为．

举一反三

如图 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}

将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）．如图2，AE与BC交于点M ， AC与EF交于点N ， BC与EF交于点P ．

如图，在 $\text{[math]}$ 中，E是BC的中点，连结AE，并延长交DC的延长线于点F

如图，平行四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且分别与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 的周长为 10 ，则 $\text{[math]}$ 的值为{#blank#}1{#/blank#} $\text{[math]}$

如图1，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足． $\text{[math]}$ ．

点 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

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