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题型：解答题题类：难易度：容易

新疆阿勒泰地区2023-2024学年八年级上学期期中联考数学试题

如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B．连接 $\text{[math]}$ 并延长到点D，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长到点E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，那么量出 $\text{[math]}$ 的长就是A，B的距离．为什么？

举一反三

如图，⊙O的弦AB与半径OE，OF相交于C，D两点，AC=BD．求证：

【问题提出】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图1，当点E在边 $\text{[math]}$ 上时，猜想 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 数量关系，并加以证明；

（2）再探究一般情形，如图2，当点E在 $\text{[math]}$ 内部时，证明（1）中的结论仍然成立．

【问题拓展】（3）如图3，当点E在 $\text{[math]}$ 外部时， $\text{[math]}$ 于点H，过点E作 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 的延长线于点G， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．

如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD ，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF ，点E为AB的中点，连接EF ， ED ．若EF＝1，则△BED的面积是（）

如图，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 平分线上的一点， $\text{[math]}$ .

已知，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D，点E在BC上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，过点B作 $\text{[math]}$ ，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．

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