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题型：作图题题类：难易度：普通

重庆市外国语中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

如图，已知 $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）、请用直尺和圆规画出 $\text{[math]}$ 的角平分线，交 $\text{[math]}$ 于点E，连结 $\text{[math]}$ （保留作图痕迹，不写作法）

（2）、结合图形，求证： $\text{[math]}$ ；

证明：∵ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 角平分线，

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （ ① ）

又∵点D为 $\text{[math]}$ 的中点，

∴ $\text{[math]}$ （ ② ）

∴ $\text{[math]}$

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （ ④ ）

∴ ⑤ ．

∵点D为 $\text{[math]}$ 的中点，

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ．

举一反三

如图，点E，F在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，且点D，E，F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 的周长为12， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

如图在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，请利用尺规作图法在线段 $\text{[math]}$ 上作一点D，使点D到边 $\text{[math]}$ 的距离等于 $\text{[math]}$ ．（不写作法，保留作图痕迹）

如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是{#blank#}1{#/blank#}．

综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第 $\text{[math]}$ 步：如图 $\text{[math]}$ 所示，先将正方形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：将 $\text{[math]}$ 边沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置；

第 $\text{[math]}$ 步：延长 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

证明过程如下：连接 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 正方形 $\text{[math]}$ 折叠，

$\text{[math]}$ ▲ ，

又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

由题意可知 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ 个单位 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 中，可列方程： $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ 方程不要求化简 $\text{[math]}$

解得： $\text{[math]}$ ▲ ，即 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

“破浪”小组是这样操作的：

第 $\text{[math]}$ 步：如图 $\text{[math]}$ 所示，先将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：再将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，再展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 翻折得折痕 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：过点 $\text{[math]}$ 折叠正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使折痕 $\text{[math]}$ ．

【过程思考】

如图，点D、E是△ABC边AB、AC的中点，连接BE，点G是线段BE的中点，连接CG并延长，交ED的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交AB于点 $\text{[math]}$ .

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