- 二一组卷

题型：作图题题类：难易度：普通

重庆市外国语中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

如图，已知 $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）、请用直尺和圆规画出 $\text{[math]}$ 的角平分线，交 $\text{[math]}$ 于点E，连结 $\text{[math]}$ （保留作图痕迹，不写作法）

（2）、结合图形，求证： $\text{[math]}$ ；

证明：∵ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 角平分线，

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （ ① ）

又∵点D为 $\text{[math]}$ 的中点，

∴ $\text{[math]}$ （ ② ）

∴ $\text{[math]}$

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （ ④ ）

∴ ⑤ ．

∵点D为 $\text{[math]}$ 的中点，

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ．

举一反三

如图(1)，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，4），以A为直角顶点，AB为腰作等腰Rt△ABC，使点C落在第三象限.

如图， $\text{[math]}$ 是正方形，E是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，垂足分别为F，G.求证： $\text{[math]}$ .

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，连 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．

．

综合实践与探究

已知 $\text{[math]}$ ，如图．请按要求完成下列任务：

任务一：按要求画图：

（1）点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的任意两点（不重合），在射线 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ；

（3）作射线 $\text{[math]}$ ．

任务二：判断 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 的平分线?若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，请证明；若 $\text{[math]}$ 不是 $\text{[math]}$ 的平分线，请说明理由．

【课本回顾】

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

定理：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

（1）【定理证明】

已知：如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中位线．

求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

关于三角形中位线定理的证明，数学兴趣小组给出如下两种证明思路：

	思路一	思路二
	如图1，过点C作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长于点F	如图2，分别过点A、B、C作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为M、H、N
图形表达

在上述两种思路中，请选择其中一种，并完成具体解题过程：

（2）【类比探究】

如图3，在等边 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F，G为 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中位线；

（3）【拓展提升】

①如图4，在（2）的条件下，以 $\text{[math]}$ 为边向下作等边 $\text{[math]}$ ， M、N分别是等边 $\text{[math]}$ 、等边 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．请问 $\text{[math]}$ 是否是定值？若是，直接写出这个定值：若不是，请说明理由：

②如图5，在（2）的条件下，取 $\text{[math]}$ 中点T，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，于直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

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