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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

河北省衡水市景县第二中学2020-2021学年七年级上学期数学期中试卷

高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程

解：设 $\text{[math]}$ ，①

则 $\text{[math]}$ ，②

①+②，得 $\text{[math]}$ ．

（两式左右两端分别相加，左端等于 $\text{[math]}$ ，右端等于100个101的和）

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ③

∴ $\text{[math]}$ ．

后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．

（1）、请你运用高斯的“倒序相加法”计算： $\text{[math]}$ ；

（2）、请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

（3）、计算： $\text{[math]}$ ．

举一反三

将杨辉三角中的每一个数换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，第9行第2个数是{#blank#}1{#/blank#}．

如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（）

3

a

b

c

﹣1

2

…

某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)，现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)，若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（）

观察下列算式：3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，3⁶=729，3⁷=2187，3⁸=6561…，根据上述算式中的规律，你认为3²⁰¹⁴的末位数字是（）

观察下列有规律的数：1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则第n个数表示为{#blank#}1{#/blank#}.

如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出(a＋b)ⁿ（其中 n 为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律，写出(a＋b)⁵的展开式.

(a＋b)⁵＝{#blank#}1{#/blank#}

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