- 二一组卷

题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

广西柳州市2019届数学中考最后一卷

如图，已知抛物线y＝ax²+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD.

（1）、求该抛物线的表达式；

（2）、点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t.

①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

举一反三

x	…	﹣1	0	1	2	3	…
y	…	3	0	﹣1	m	3	…

有以下几个结论：

①抛物线y=ax²+bx+c的开口向下；②抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=﹣1；③方程ax²+bx+c=0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）

变化一下：

（2）解：∵点A是l₁与x轴的交点，

∴当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∵点B为l₂与x轴的交点，

∴当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴AB=AC，

∴ $\text{[math]}$ ABC是等腰三角形；

（3）若l₂上的一点M到l₁的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标.
解：如图④，由题意可求得A（−4，0），C（0，3），B（1，0），

∴AB＝5，AC＝5，BC＝ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， OC＝3，

当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC，垂足分别为P、Q，

∵l₂上的一点M到l₁的距离是1，

∴MQ＝1，

由图②的结论得：MP＋MQ＝OC=3，

∴MP＝2，

∴M点的纵坐标为2，

又∵M在直线y＝−3x＋3，

∴当y＝2时，x＝ $\text{[math]}$

∴M坐标为（ $\text{[math]}$ ， 2）；

同理，由前面结论可知当M点在线段BC外时，有|MP−MQ|＝OC，

可求得MP＝4或MP＝−2，即M点的纵坐标为4或−2，

分别代入y＝−3x＋3，可求得x＝- $\text{[math]}$ 或x＝ $\text{[math]}$ （舍，因为它到l₁的距离不是1），

∴M点的坐标为（- $\text{[math]}$ ， 4）；

综上可知M点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， 2）或（- $\text{[math]}$ ， 4）.

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