有理数综合与实践题—广东省（人教版）数学七（上）期末复习

修改时间：2025-01-06 浏览次数：4 类型：复习试卷编辑

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一、综合与实践

1. 综合运用
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A ，点B表示的数分别为a ， b ，则A ， B两点之间的距离 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数为 $\text{[math]}$ ．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为 $\text{[math]}$ ，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（ $\text{[math]}$ ）．
备用图
【综合运用】

（1） A ， B两点间的距离 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数为；

（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；

（3）求当t为何值时， $\text{[math]}$ ；

（4）若点M为 $\text{[math]}$ 的中点，点N为 $\text{[math]}$ 的中点，点P在运动过程中，线段 $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段 $\text{[math]}$ 的长．

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2. 综合与实践：
用“ $\text{[math]}$ ”定义新运算：对于任意有理数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）定义一种运算，就要研究它的运算律：
①求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；
②这个计算结果说明了这个运算满足__________律．（填运算律）

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3. 【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于 $\text{[math]}$ 这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把 $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）相除记作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 次商”

（1）【概念理解】直接写出结果： $\text{[math]}$ ．

（2）关于除方，下列说法正确的是：（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数

（3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

（4）计算： $\text{[math]}$ ．

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4. 定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
请你想一想：

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）已知 $\text{[math]}$ ，求m的值；

（3）判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由．

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5. 观察下列三个等式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们称使等式 $\text{[math]}$ 成立的一对有理数 $\text{[math]}$ 为“友好数对”，记为 $\text{[math]}$ ，例如数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是“友好数对”，请回答下列问题：

（1）数对 $\text{[math]}$ 是“友好数对”吗？试说明理由，

（2）若数对 $\text{[math]}$ 是“友好数对”，求 $\text{[math]}$ 的值，

（3）若数对 $\text{[math]}$ 是“友好数对”，求 $\text{[math]}$ 的值．

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6. 综合运用
如图，数轴上两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 对应的数分别是 $\text{[math]}$ 和8．点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1） $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的距离为；

（2）当 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 的中点时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）若一动点 $\text{[math]}$ 同时从 $\text{[math]}$ 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动，当点 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 点时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点都停止运动．在此过程中，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

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7. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b ，则A、B两点之间的距离 $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数为 $\text{[math]}$ ．如图，数轴上点A表示的数为 $\text{[math]}$ ，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（ $\text{[math]}$ ）．

（1）填空：
①A、B两点之间的距离 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数为．
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．

（2）求当t为何值时， $\text{[math]}$ ；

（3）在P、Q两点运动过程中是否存在P、Q、B三点中其中一点正好是另外两点连成的线段的中点？若存在，请求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

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8. 【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点 $\text{[math]}$ 表示的数分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 两点之间的距离 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数为 $\text{[math]}$ ．例如点 $\text{[math]}$ 表示的数分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 两点间的距离 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 表示的数为 $\text{[math]}$ ．
【问题情境】
如图，数轴上点 $\text{[math]}$ 表示的数为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 表示的数为8，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．
【综合运用】

（1）填空：① $\text{[math]}$ 两点间的距离 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数为．
② $\text{[math]}$ 秒后，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示：点 $\text{[math]}$ 表示的数为；点 $\text{[math]}$ 表示的数为．

（2）求当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 两点相遇，并写出相遇点所表示的数．

（3）在上述的运动过程中，是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 三点中的任意一点为连接另外两点之间线段的中点．若存在，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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9. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点 $\text{[math]}$ 表示的数分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 两点之间的距离 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数为 $\text{[math]}$ ．如图，数轴上点A表示的数为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 表示的数为8，点 $\text{[math]}$ 从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．

（1）填空：
① $\text{[math]}$ 两点之间的距离 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数为．
②用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示： $\text{[math]}$ 秒后，点 $\text{[math]}$ 表示的数为；点 $\text{[math]}$ 表示的数为．
③当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 两点相遇，相遇点所表示的数为．

（2）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ．

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10. 【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，研究数轴我们发现了许多重要规律．
例如：①若数轴上点A ， B表示的数分别为a ， b ．则A ， B两点之间的距离为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数为 $\text{[math]}$ ．
②若在数轴上一个点表示的数为a ，则向左运动 $\text{[math]}$ 个单位后表示的数为 $\text{[math]}$ ，向右运动 $\text{[math]}$ 个单位后所表示的数为 $\text{[math]}$ ．
【综合应用】
如图，点A表示的数为 $\text{[math]}$ ，点B所表示的数为5．

（1）填空：
① $\text{[math]}$ 的中点所表示的数为；
②若 $\text{[math]}$ ，则点C表示的数为．

（2）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时，点Q从点B出发，以每秒v个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．
①P、Q运动过程中，当点B正好是 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ ，求点Q的速度v ．
②若点Q保持①中的速度继续运动，当点P运动到 $\text{[math]}$ 的三等分点时，求P的运动时间t ．

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11. 数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点M，N表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离表示为 $\text{[math]}$ ．如：点M表示的数为2，点N表示的数为3，则 $\text{[math]}$ ．

（1）【问题提出】
填空：如图，数轴上点A表示的数为 $\text{[math]}$ ，点B表示的数为13，A，B两点之间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为．

（2）【拓展探究】
在（1）的条件下，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0）.
①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 ▲ ，点Q表示的数为 ▲ ；
②求当t为何值时，P，Q两点相遇？写出相遇点所表示的数．

（3）【类比延伸】
在（2）的条件下，如果P，Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P，Q两点第二次相遇，请求出所需要的时间和相遇点所表示的数．

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