湖南省“五市十校教研教改共同体”2021届高三下学期数学5月大联考试卷

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 1 B . 3 C . 5 D . 7

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2. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是（）

A . 0.72 B . 0.8 C . 0.86 D . 0.9

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3. 设a，b，m为实数，给出下列三个条件：① $\text{[math]}$ ：② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ，其中使 $\text{[math]}$ 成立的充分不必要条件是（）

A . ① B . ② C . ③ D . ①②③

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4. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为（）

A . 9 B . 18 C . 27 D . 36

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5. $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ ，设函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最小值，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 688 B . 161 C . 129 D . 22

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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9. 关于函数 $\text{[math]}$ 的结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 在定义域内单调递减 B . $\text{[math]}$ 的值域为R C . $\text{[math]}$ 在定义城内有两个零点 D . $\text{[math]}$ 是奇函数

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10. 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，则下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线为x轴 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上无零点 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 存在唯一极小值点

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12. 在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ C . 过 $\text{[math]}$ 作与 $\text{[math]}$ 平行的平面 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 截直四棱柱 $\text{[math]}$ 的截面面积为 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上任意一点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的正切值的取值范围是 $\text{[math]}$

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13. 若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为．

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14. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为D，对D内的任意 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，恒有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为非减函数．已知 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 的非减函数，且满足：①对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．②对任意 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的值为．

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17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 与数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）记 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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18. $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其面积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等比数列，且 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

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19. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ，M为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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20. 某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调查统计，一是产品的质量参数x，二是产品的使用时间t（单位：千小时），经统计分析，质量参数x服从正态分布 $\text{[math]}$ ，使用时间t与质量参数x之间有如下关系：

质量参数x	0.65	0.70	0.75	0.80	0.85	0.90	0.95
使用时间t	2.60	2.81	3.05	3.10	3.25	3.35	3.54

附：参考数据： $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

参考公式：相关系数 $\text{[math]}$ ；

回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

（1）该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品．现抽取20件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望；

（2）该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，请用相关系数说明使用时间t与质量参数x之间的关系是否可用线性回归模型拟合．

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．

（1）若 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的斜率之积为定值；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积的最大值．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ；

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）求证： $\text{[math]}$ ．

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湖南省“五市十校教研教改共同体”2021届高三下学期数学5月大联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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