北京市西城区2021届高三数学一模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . {2} B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，则z的虚部是（）

A . -1 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . i

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3. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为（）

A . 15 B . -15 C . 30 D . -30

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4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）

A . 12 B . $\text{[math]}$ C . 16 D . $\text{[math]}$

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 6

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7. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . 5

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8. 抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点F发出的两条光线a ， b分别经抛物线上的A ， B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为 $\text{[math]}$ ，则两条反射光线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 在无穷等差数列 $\text{[math]}$ 中，记 $\text{[math]}$ ，则“存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为递增数列”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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10. 若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m ，则记 $\text{[math]}$ ．下列命题中正确的是（）

A . 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则存在实数a ，使得 $\text{[math]}$ C . 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ D . 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则对任意的实数a ，总存在实数b ，使得 $\text{[math]}$

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11. 函数f（x）=lnx+ $\text{[math]}$ 的定义域为．

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ （c为常数），则常数m的一个取值为．

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13. 长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间 $\text{[math]}$ ；

（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；

（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．

记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．

则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是．

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14. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，则C的渐近线方程是；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M ， N两点，O为坐标原点，则 $\text{[math]}$ 的面积是．

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15. 在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则公比 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则n的最大值为．

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16. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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17. 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．

（1）确定 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）若 $\text{[math]}$ 图象的对称轴只有一条落在区间 $\text{[math]}$ 上，求a的取值范围．
条件①： $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；

条件②： $\text{[math]}$ 图象的一个对称中心为 $\text{[math]}$ ；

条件③； $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ．

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18. 天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中 $\text{[math]}$ ．

星名	天狼星	老人星	南门二	大角星	织女一	五车二	参宿七	南河三	水委一	参宿四
视星等	-1.47	-0.72	-0.27	-0.04	0.03	0.08	0.12	0.38	0.46	a
绝时星等	1.42	-5.53	4.4	-0.38	0.6	0.1	-6.98	2.67	-2.78	-5.85
赤纬	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；

（2）已知北京的纬度是北纬 $\text{[math]}$ ，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于 $\text{[math]}$ 时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为 $\text{[math]}$ 颗，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

（3）记 $\text{[math]}$ 时10颗恒星的视星等的方差为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 时10颗恒星的视星等的方差为 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的大小关系．（结论不需要证明）

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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求证：函数 $\text{[math]}$ 存在极小值；

（3）若对任意的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点在x轴上，且经过点 $\text{[math]}$ ，左顶点为D ，右焦点为F ．

（1）求椭圆C的离心率和 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）已知直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C交于A ， B两点，过点B作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为G ，判断是否存在常数t ，使得直线 $\text{[math]}$ 经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

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21. 已知数列A： $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，设集合 $\text{[math]}$ ，记T的元素个数为 $\text{[math]}$ ．

（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T ，井写出 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若A是递增数列，求证：“ $\text{[math]}$ ”的充要条件是“A为等差数列”；

（3）若 $\text{[math]}$ ，数列A由 $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个数组成，且这 $\text{[math]}$ 个数在数列A中每个至少出现一次，求 $\text{[math]}$ 的取值个数．

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北京市西城区2021届高三数学一模试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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