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题型：解答题题类：难易度：普通

上海市松江区2024-2025学年高三上学期期末质量监控考试数学试题

如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 是“共轴”曲线，且椭圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为曲线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的离心率）．已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点．

（1）、求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）、延长线段 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若点Q在椭圆 $\text{[math]}$ 上，试求点P的坐标；

（3）、若点P在双曲线 $\text{[math]}$ 的右支上，点A、B分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右顶点，直线 $\text{[math]}$ 交双曲线的左支于点R，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

举一反三

已知双曲线C： $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）

已知双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ，过F₂的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF₁|=|F₁F₂|，且3|PF₂|=2|QF₂|，则该双曲线的离心率为（）

若双曲线 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 的一个焦点是 $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ 的值是（）

如图：已知双曲线 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为左右顶点， $\text{[math]}$ 为右焦点， $\text{[math]}$ 为虚轴的上端点，若在线段 $\text{[math]}$ 上（不含端点）存在不同的两点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 构成以 $\text{[math]}$ 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率 $\text{[math]}$ 的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}.

设椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，且椭圆经过点 $\text{[math]}$ .

已知离心率为2的双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点重合， $\text{[math]}$ 的中心与 $\text{[math]}$ 的顶点重合， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的公共点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的标准方程为{#blank#}1{#/blank#}.

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