广东省2024届高三下学期2月大联考数学试题

修改时间：2025-02-27 浏览次数：2 类型：月考试卷编辑

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素的个数为（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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2. 已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论一定正确的为（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于原点对称 B . $\text{[math]}$ 的图象关于y轴对称 C . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称

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6. 已知点P是曲线 $\text{[math]}$ 在第一象限内的一点，A为 $\text{[math]}$ 的左顶点，R为PA的中点，F为 $\text{[math]}$ 的右焦点．若直线OR（O为原点）的斜率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在某电路上有 $\text{[math]}$ 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为 $\text{[math]}$ ，则在某次通电后 $\text{[math]}$ 有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在各棱长都为2的正四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的射影长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 若z满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . z的实部为3 B . z的虚部为1 C . $\text{[math]}$ D . z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为3

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10. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则存在唯一的实数p，q，使得 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$

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11. 若过点 $\text{[math]}$ 可作曲线 $\text{[math]}$ 的n条切线 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 过 $\text{[math]}$ ，仅可作 $\text{[math]}$ 的一条切线

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 如图是一个正四棱台 $\text{[math]}$ ，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为 $\text{[math]}$ ，则侧面积为．

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13. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的通项公式为．

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14. 若圆C与抛物线 $\text{[math]}$ 在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于 $\text{[math]}$ 的焦点A，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且 $\text{[math]}$ ．

（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；

（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有 $\text{[math]}$ 个人摸到一等奖的概率为 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 取得最大值时 $\text{[math]}$ 的值．
附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 如图，在圆锥 $\text{[math]}$ 中，若轴截面 $\text{[math]}$ 是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段 $\text{[math]}$ 上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作 $\text{[math]}$ 垂直底面于E，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 为正三角形，且F为 $\text{[math]}$ 的中点，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．

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17. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中a为实数．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）当 $\text{[math]}$ 在定义域内有两个不同的极值点 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ．

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18. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点 $\text{[math]}$ 为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．
①证明：l与ON相交；
②已知l与直线ON交于T，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

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19. 在无穷数列 $\text{[math]}$ 中，令 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 对前 $\text{[math]}$ 项之积是封闭的．

（1）试判断：任意一个无穷等差数列 $\text{[math]}$ 对前 $\text{[math]}$ 项之积是否是封闭的？

（2）设 $\text{[math]}$ 是无穷等比数列，其首项 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 对前 $\text{[math]}$ 项之积是封闭的，求出 $\text{[math]}$ 的两个值；

（3）证明：对任意的无穷等比数列 $\text{[math]}$ ，总存在两个无穷数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对前 $\text{[math]}$ 项之积都是封闭的．

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广东省2024届高三下学期2月大联考数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

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