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题型：解答题题类：难易度：困难

吉林省长春市第二中学2025届高三上学期第二次调研考试数学试题

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的图像连续不断，从几何上看，定积分 $\text{[math]}$ 便是由直线 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ 所围成的区域（称为曲边梯形 $\text{[math]}$ ）的面积，根据微积分基本定理可得 $\text{[math]}$ ，因为曲边梯形 $\text{[math]}$ 的面积小于梯形 $\text{[math]}$ 的面积，即 $\text{[math]}$ ，代入数据，进一步可以推导出不等式： $\text{[math]}$ ．

（1）、请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： $\text{[math]}$ ；

（2）、已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

①证明：对任意两个不相等的正数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 处的切线均不重合；

②当 $\text{[math]}$ 时，若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

举一反三

已知 $\text{[math]}$ 函数 $\text{[math]}$ )记x为 $\text{[math]}$ 的从小到大的第n( $\text{[math]}$ )个极植点，证明：

（1）数列 $\text{[math]}$ 的等比数列

（2）若 $\text{[math]}$ 则对一切 $\text{[math]}$ 恒成立

已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ，g（x）=lnx，其中e为自然对数的底数．

已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．

已知函数 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上运动，直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图象不相交，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最小值；

（Ⅱ）讨论函数 $\text{[math]}$ 零点的个数，并说明理由.

设函数 $\text{[math]}$ .

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的极小值；

（2）若关于x的方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有唯一实数解，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为{#blank#}1{#/blank#}．

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