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题型：解答题题类：难易度：困难

吉林省长春市第二中学2025届高三上学期第二次调研考试数学试题

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的图像连续不断，从几何上看，定积分 $\text{[math]}$ 便是由直线 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ 所围成的区域（称为曲边梯形 $\text{[math]}$ ）的面积，根据微积分基本定理可得 $\text{[math]}$ ，因为曲边梯形 $\text{[math]}$ 的面积小于梯形 $\text{[math]}$ 的面积，即 $\text{[math]}$ ，代入数据，进一步可以推导出不等式： $\text{[math]}$ ．

（1）、请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： $\text{[math]}$ ；

（2）、已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

①证明：对任意两个不相等的正数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 处的切线均不重合；

②当 $\text{[math]}$ 时，若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

举一反三

已知函数f（x）=lnx﹣a²x²+ax（a∈R）．

已知函数f（x）=x²+alnx（a为实常数）

已知函数 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的极值点，求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

（Ⅲ）当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 有实数根，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

函数f(x)＝3x－x³在区间(a²－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是（）

函数 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

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