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题型：解答题题类：难易度：困难

湖北省荆门市龙泉中学2024-2025学年高三上学期6月份月考数学试题

在 $\text{[math]}$ 平面上，我们把与定点 $\text{[math]}$ 距离之积等于 $\text{[math]}$ 的动点的轨迹称为伯努利双纽线， $\text{[math]}$ 为该曲线的两个焦点．已知曲线 $\text{[math]}$ 是一条伯努利双纽线．

（1）、求曲线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）、判断曲线 $\text{[math]}$ 上是否存在两个不同的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （异于坐标原点 $\text{[math]}$ ），使得以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过坐标原点 $\text{[math]}$ ．如果存在，求点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 坐标；如果不存在，请说明理由．

举一反三

已知线段AB的端点B的坐标是（3，4），端点A在圆（x+2）²+（y﹣1）²=2上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是{#blank#}1{#/blank#} ．

已知圆C：（x﹣3）²+（y﹣5）²=5，过圆心C作直线l交圆于A、B两点，交y轴于点P，且2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则直线l的方程为{#blank#}1{#/blank#}

已知方程x²+y²﹣2x﹣4y+m=0．

（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；

（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

若实数x，y满足方程x²+y²﹣4x+1=0，则 $\text{[math]}$ 的最大值为{#blank#}1{#/blank#}，最小值为{#blank#}2{#/blank#}．

已知圆C：x²+（y﹣1）²=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．

（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；

（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；

（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求此时直线l的方程．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ 为参数 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．

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