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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷

已知椭圆 $\text{[math]}$ ，左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，短轴的其中一个端点为 $\text{[math]}$ ，长轴端点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是面积为 $\text{[math]}$ 的等边三角形.

（1）、求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程及离心率；

（2）、若双曲线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为焦点，以 $\text{[math]}$ 为顶点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的一个交点，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（3）、如图，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有唯一的公共点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线分别交 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点.当点 $\text{[math]}$ 运动时，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.

举一反三

与圆 $\text{[math]}$ 及圆 $\text{[math]}$ 都外切的圆的圆心在（）

一动圆与圆O： $\text{[math]}$ 外切，与圆C： $\text{[math]}$ 内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）

设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ( )

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的中心在原点，离心率等于 $\text{[math]}$ ，它的一个长轴端点恰好是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆上的两点， $\text{[math]}$ 是椭圆上位于直线 $\text{[math]}$ 两侧的动点.

①若直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

②当 $\text{[math]}$ 运动时，满足 $\text{[math]}$ ，试问直线 $\text{[math]}$ 的斜率是否为定值？请说明理由.

已知椭圆 $\text{[math]}$ ．

已知长轴长为4的椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是椭圆的右焦点.

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