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题型：解答题题类：模拟题难易度：困难

上海市松江区2022届高三数学一模试卷

已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ 渐近线方程为 $\text{[math]}$ .

（1）、求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）、若对任意的 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 总有公共点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）、若过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于M、N两点，问在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为常数？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.

举一反三

已知抛物线C₁：y²=8x与双曲线C₂： $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）有公共焦点F₂ ，点A是曲线C₁ ， C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，以B为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆，交圆C于点P，且 $\text{[math]}$ 的平分线交线段CP于点Q.

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆 $\text{[math]}$ 的中心在坐标原点 $\text{[math]}$ ，其右焦点为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上．

已知 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 异于原点 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，且抛物线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅱ）证明： $\text{[math]}$ 的面积与四边形 $\text{[math]}$ 的面积之比为定值.

设 $\text{[math]}$ 点为圆 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的投影为 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 的左顶点为 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不是左右顶点），且满足 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 恒过定点，并求出该定点的坐标.

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，A为椭圆上一点（不在x轴上），满足 $\text{[math]}$ ．

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