已知函数f（x）= x2+ax2+bx﹣ （a＞0，b∈R），f（x）在x=x1和x=x2处取得极值，且|x1﹣x2|= ，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y=0垂直．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明关于x的方程（k2+1）ex﹣1﹣kf′（x）=0至多只有两个实数根（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数）

题型：解答题题类：模拟题难易度：普通

2017年福建省三明市高考数学二模试卷（文科）

已知函数f（x）= $\text{[math]}$ x²+ax²+bx﹣ $\text{[math]}$ （a＞0，b∈R），f（x）在x=x₁和x=x₂处取得极值，且|x₁﹣x₂|= $\text{[math]}$ ，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y=0垂直．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）证明关于x的方程（k²+1）e^x^﹣1﹣kf′（x）=0至多只有两个实数根（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数）

举一反三

（Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

（Ⅱ）若f（x）≥x²在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．

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