已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=e﹣3处的切线方程；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）恒成立，求实数λ的取值范围．（Ⅲ）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜ a+1+ ．

题型：解答题题类：模拟题难易度：困难

2017年辽宁省部分重点中学协作体高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=e^﹣³处的切线方程；

（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）恒成立，求实数λ的取值范围．

（Ⅲ）关于x的方程f（x）=a有两个实根x₁ ， x₂ ，求证：|x₁﹣x₂|＜ $\text{[math]}$ a+1+ $\text{[math]}$ ．

举一反三

设函数 $\text{[math]}$

（Ⅰ）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；（Ⅱ）若 a = 1 ，证明：当 x > 0 时， f ( x ) < e x − 1 .

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