已知定义在R上的函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y）+1，且当x＞0时，f（x）＞1．（I）若令h（x）=f（x）﹣1，证明：函数h（x）为奇函数；（II）证明：函数f（x）在R上是增函数；（III）解关于x的不等式f（x2）﹣f（3tx）+f（2t2+2t﹣x）＜1．其中t∈R．

题型：解答题题类：常考题难易度：普通

抽象函数及其应用+++3

已知定义在R上的函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y）+1，且当x＞0时，f（x）＞1．

（I）若令h（x）=f（x）﹣1，证明：函数h（x）为奇函数；

（II）证明：函数f（x）在R上是增函数；

（III）解关于x的不等式f（x²）﹣f（3tx）+f（2t²+2t﹣x）＜1．其中t∈R．

举一反三

若对任意的 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

①对任意x，y∈（﹣1，1），都有f（x）+f（y）=f（ $\text{[math]}$ ）；

②当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，求证：

已知符号函数sgn $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 是R上的增函数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则（）

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