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题型：解答题题类：常考题难易度：普通

抽象函数及其应用

函数f（x）满足：f（3x+y）=3f（x）+f（y）对任意的x，y∈R均成立，且当x＞0时，f（x）＜0．

（1）、求证：f（4x）=4f（x），f（3x）=3f（x）；

（2）、判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性并证明．

举一反三

已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，

（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．

（2）判断f（x）的单调性并加以证明．

（3）若函数g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上递减，求实数k的取值范围．

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁ ， x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．

（1）求f（1）与f（﹣1）的值；

（2）判断函数的奇偶性并证明.

已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x＞0，都有 $\text{[math]}$ ，且当x∈[0，2）时f（x）=log₂（x+1），则f（2 015）+f（2 016）的值为（）

函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且f（4）=5．

已知定义域为[0，e]的函数f（x）同时满足：

①对于任意的x∈[0，e]，总有f（x）≥0；

②f（e）=e；

③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤e，则恒有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．

已知定义在 $\text{[math]}$ 上的减函数 $\text{[math]}$ 满足条件：对任意 $\text{[math]}$ ，总 $\text{[math]}$ ，则关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集是{#blank#}1{#/blank#}.

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