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题型：解答题题类：常考题难易度：困难

广东省佛山市第三中学2018-2019学年高二下学期理数第一次段考试卷

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

证明：构造函数 $\text{[math]}$ ，

即 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ .

因为对一切 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ ，从而得 $\text{[math]}$ .

（1）、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请写出上述结论的推广式；

（2）、参考上述证法，对你推广的结论加以证明.

举一反三

设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r= $\text{[math]}$ ；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄ ，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r={#blank#}1{#/blank#}．

已知a，b∈R⁺ ， m，n∈N^* ．

（Ⅰ）求证：（aⁿ+bⁿ）（a^m+b^m）≤2（a^m⁺ⁿ+b^m⁺ⁿ）；

（Ⅱ）求证： $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．

求证：ac+bd≤ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．

观察下列各式：a+b=1，a²+b²=3，a³+b³=4，a⁴+b⁴=7，a⁵+b⁵=11，…，则a¹⁰+b¹⁰={#blank#}1{#/blank#}．

已知实数a，b，c满足a，b，c∈R⁺ ．

（Ⅰ）若ab=1，证明：（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²≥4；

（Ⅱ）若a+b+c=3，且 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立，求x的取值范围．

若数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，则数列 $\text{[math]}$ 也是等差数列；类比上述性质,相应地， $\text{[math]}$ 是正项等比数列，则也是等比数列{#blank#}1{#/blank#}.

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