湖南省名校教育联盟2024-2025学年高三上学期12月大联考数学试题

修改时间：2025-02-06 浏览次数：3 类型：月考试卷编辑

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 27 B . 24 C . 21 D . 18

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3. 已知复数 $\text{[math]}$ 在复平面内所对应的点位于第一象限，且 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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5. 已知 $\text{[math]}$ 是偶函数，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 1 C . 0 D . $\text{[math]}$

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6. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 6 B . 5 C . 3 D . 2

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于另一点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 定义 $\text{[math]}$ 的实数根 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“坚定点”，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．

9. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（包括端点），点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）

A . 存在唯一的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ B . 存在唯一的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹的长度为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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11. 在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为原点， $\text{[math]}$ 为平面内的动点，且 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ，则满足下列条件的动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为椭圆的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 写出一个半径为 $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ 的圆的方程：．

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13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，得到三棱锥 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的平分线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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16. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）作出点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 的射影 $\text{[math]}$ ，并证明；

（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．

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17. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）若过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于另一点 $\text{[math]}$ ，且由点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 组成的以 $\text{[math]}$ 为一边的四边形的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的方程．

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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的正实数解 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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19. 某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．

（1）假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；

（2）假设代仕同学有 $\text{[math]}$ 点积分，该同学用完 $\text{[math]}$ 点积分的方式种数记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 表达式；

（3）设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

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湖南省名校教育联盟2024-2025学年高三上学期12月大联考数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

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