分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，

∵ $O$ 为 $B D$ 的中点， $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，

∴ $△ B C D$ 是直角三角形， $B D = 2 O D = 2$ ， $C D = 1$ ， $B C = \sqrt{{(B D)}^{2} - {(C D)}^{2}} = \sqrt{3}$ ，

∵CB、CD的中点为F、G， ∴ $O F // C D$ ， $O G // B C$ ， $O F ⊥ O G$ ，

由（1）得， $A O$ 是三棱锥 $A - B C D$ 底面 $B C D$ 的高， $△ A O B$ 是直角三角形，

以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为 $x, y, z$ 轴，

如图建立空间直角坐标系，则 $O (0, 0, 0)$ ， $F (\frac{1}{2}, 0, 0)$ ， $G (0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ ， $A (0, 0, 1)$ ， $B (\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ ， $C (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ ， $D (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ ，

∴ $\vec{C D} = (- 1, 0, 0)$ ， $\vec{B C} = (0, \sqrt{3}, 0)$ ， $\vec{A B} = (\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}, - 1)$ ，

设 $\vec{n_{1}} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 是平面 $A B C$ 的一个法向量，

则 $\{\begin{array}{l} \vec{n_{1}} \cdot \vec{B C} = 0 \\ \vec{n_{1}} \cdot \vec{A B} = 0 \end{array}$ ，即 $\{\begin{array}{l} \sqrt{3} y_{1} = 0 \\ \frac{1}{2} x_{1} - \frac{\sqrt{3}}{2} y_{1} - z_{1} = 0 \end{array}$ ，

令 $z_{1} = 1$ ，则 $x_{1} = 2$ ， $\vec{n_{1}} = (2, 0, 1)$ ， $|\vec{n_{1}}| = \sqrt{5}$ ， $|\vec{C D}| = 1$ ，

$\cos ⟨\vec{n_{1}}, \vec{C D}⟩ = \frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{C D}}{|\vec{n_{1}}| |\vec{C D}|} = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，

∴直线 $C D$ 和平面 $A B C$ 所成角的正弦值等于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

2025高考一轮复习（人教A版）第三十讲 空间向量的应用

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