四川省自贡市田家炳中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

修改时间：2024-11-18 浏览次数：6 类型：期中考试编辑

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则m等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为(　　).

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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3. 在 $\text{[math]}$ 中,若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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4. 在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为(　　)

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3π D . 4π

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5. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值是

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（）

A . 3寸 B . 4寸 C . 5寸 D . 6寸

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7. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 外接圆的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知点O是 $\text{[math]}$ 内一点，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则实数m为（）

A . 2 B . -2 C . 4 D . -4

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的形状不可能是（）

A . 锐角三角形 B . 等边三角形 C . 直角三角形 D . 钝角三角形

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10. 设z是复数，则下列命题中的假命题是

A . 若 $\text{[math]}$ ，则z是实数 B . 若 $\text{[math]}$ ，则z是虚数 C . 若z是虚数，则 $\text{[math]}$ D . 若z是纯虚数，则 $\text{[math]}$

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11. 定义两个非零平面向量的一种新运算 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角，则对于两个非零平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列结论一定成立的有（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知非零向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为.

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13. 在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分）

15. 已知复数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为纯虚数.
（1）求复数 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求复数 $\text{[math]}$ 的模 $\text{[math]}$ .

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16. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角：

（2）若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的坐标.

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17. 在 $\text{[math]}$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求角C的大小

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

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18. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上靠近点 $\text{[math]}$ 的一个三等分点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ .
（2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $\text{[math]}$ 的三个内角均小于 $\text{[math]}$ 时，使得 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 即为费马点；当 $\text{[math]}$ 有一个内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点，求 $\text{[math]}$ ；

（3）设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的最小值．

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四川省自贡市田家炳中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

四、解答题（本大题共5小题，共77分）

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