2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破22 特殊四边形的存在性问题

1. 如图，点A是反比例函数 $\text{[math]}$ 图像上任意一点，过点A作 $\text{[math]}$ 轴，交另一个反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像于点B.若不论点A在何处，反比例函数 $\text{[math]}$ 图像上总存在一点D，使四边形AOBD为平行四边形，则k的值为（）

A . -1 B . -2 C . -3 D . -4

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2. 在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO的延长线与BC交于点F，MO的延长线与BC交于点N．下面四个推断：① EF＝MN；② EN∥MF ；③ 若平行四边形ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；④ 对于任意的平行四边形ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形，其中，所有正确的有（）

A . ①③ B . ②③ C . ①④ D . ②④

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3. 在矩形ABCD中，E，P，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中正确的是（）
①存在无数个四边形EFGH是平行四边形.②存在无数个四边形EFGH是矩形.③存在且仅有一个四边形EFGH是菱形.④除非矩形ABCD为正方形，否则不存在四边形EFGH是正方形.

A . ①② B . ①②③ C . ①②④ D . ①③④

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4. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为平行四边形 $\text{[math]}$ 同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线分别与平行四边形 $\text{[math]}$ 的另一边交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .下面四个判断：
①四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
②四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
③若平行四边形 $\text{[math]}$ 是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形；
④对于任意的平行四边形 $\text{[math]}$ ，存在无数个四边形 $\text{[math]}$ 是矩形.
其中，正确的个数有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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5. 在菱形ABCD中，M ， N ， P ， Q分别为边AB ， BC ， CD ， DA上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD ，下面四个结论中：
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形

正确的结论的个数是（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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6. 在菱形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点 $\text{[math]}$ 不与端点重合 $\text{[math]}$ ，对于任意菱形ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是矩形；

③至少存在一个四边形EFGH是菱形；④至少存在一个四边形EFGH是正方形.

所有正确结论的序号是.

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7. 在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为▱ABCD同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO，MO的延长线分别与▱ABCD的另一边交于点F，N．
下面四个推断：
①四边形ABFM是平行四边形；
②四边形ENFM是平行四边形；
③若▱ABCD是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形；
④对于任意的▱ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．
其中，正确的有．

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8. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ， E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F ，连接AF ， CE ，有下列四个结论：
①对于动点E ，四边形AECF始终是平行四边形；

②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E ，使得四边形AECF是矩形；

③若AB＞AD ，则至少存在一个点E ，使得四边形AECF是菱形；

④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E ，使得四边形AECF是正方形．

以上所有错误说法的序号是．

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9. 已知：直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A、点B，当点P在直线 $\text{[math]}$ 上运动时，平面内存在点Q，使得以点O、P、B、Q为顶点的四边形是菱形，请你写出所有满足条件的点Q的坐标．

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10. 在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 分别与x轴、y轴交于 $\text{[math]}$ 两点，M是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（点 $\text{[math]}$ 除外），在x轴上方存在点N，使以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形、则 $\text{[math]}$ 的长度为.

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11. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $\text{[math]}$ 的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且 $\text{[math]}$ ．在平面直角坐标系内存在点C，使得以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为．

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12. 如图，在 $\text{[math]}$ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于点F，且与CD，AD分别交于点G，H，连结OH．若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究 $\text{[math]}$ ABCD的边和角需要满足的条件．

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13. 如，在矩形ABCD中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3 cm的速度向点B移动，点Q以每秒2 cm的速度向点D移动，当点P到达点B时，两点均停止移动.是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形?若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由.

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14.
如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．

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15.
如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．

（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。

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16.
已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；
（3）△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．

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17. 如图，四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为(-1，3)，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．

（1）求直线BD的表达式．

（2）求点H到x轴的距离．

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(提示：两直线垂直，斜率乘积为-1)

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18. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点．直线y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 交线段AB于点C(1，m)，且S_△_AOB=2S_△_BOC ．

（1）求b的值．

（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，直线y= $\text{[math]}$ x+b分别与x轴、轴交于点A，B，且点A的坐标为(4，0)，四边形ABCD是正方形．

（1）填空：b=.

（2）点M是线段AB上的一个动点(点A，B除外)，试探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以O，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标(提示：两直线垂直，斜率乘积为-1)

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20. 如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点，过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E，F．

（1）求证：EB=BF．．

（2）当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论

（3）是否存在点A，B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求出点A与点B的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 如图1，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点G是平面上一点，若在射线BC上存在一点F，使得四边形EDFG为菱形，我们称菱形EDFG是矩形ABCD的“矩菱形”.

（1）命题“正方形的‘矩菱形’也是正方形”是；（填“真命题”或“假命题”）

（2）如图2，矩形ABCD为正方形，四边形EDFG是其“矩菱形”，EG交BC于点H，若HE＝ $\text{[math]}$ ，求CH的长；

（3）假设 $\text{[math]}$ ＝k，
①若矩形ABCD始终存在“矩菱形”，求k的取值范围.

②如图3，若AB＝2，点M为菱形EDFG的中心点，连结EM、CM、CG、BG，请用含有k的代数式表示五边形EMCGB的面积S.

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22. 如图，直线y=x-3与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线y=kx+b与y轴交于点B(0，4)，与直线y=x-3交于点A(m，1)．

（1）求直线AB的表达式；

（2）点P是直线CD上的一个动点，连接PB，当△PBA的面积为7时，求点P的坐标；

（3） E为y轴上的点，F在坐标平面内，以点A，B，E，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点F的坐标．

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23. 如图，已知直线y=kx+b与直线y= $\text{[math]}$ x-9平行，且y=kx+b过点(2，3)，与y轴交于点A．

（1）求点A坐标．

（2）若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，在四边形PMON 上分别截取：PC= $\text{[math]}$ MP ，MB= $\text{[math]}$ OM ，OE= $\text{[math]}$ ON，ND= $\text{[math]}$ NP，证明：四边形BCDE是平行四边形．

（3）在(2)的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破22 特殊四边形的存在性问题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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