2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破21图形变换（2）：动点问题

1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 中，AD//BC， $\text{[math]}$ ， M是 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，点E从点A出发以 $\text{[math]}$ 的速度向点D运动，点F从点C出发，以 $\text{[math]}$ 的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . 3或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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2. 如图①，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 运动到点D．图②是点P运动时， $\text{[math]}$ 的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . 5 D . 6

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3. 如图， $\text{[math]}$ ABCD中，AB=22cm，BC= $\text{[math]}$ cm，∠A=45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）

A . 6s B . 6s或10s C . 8s D . 8s或12s

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4. 如图（1），在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点B出发，沿 $\text{[math]}$ 匀速运动，设点P运动的路程为x ， $\text{[math]}$ 的面积为y（当A ， B ， P点共线时，不妨设 $\text{[math]}$ ），y与x之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图（2）中a的值为（）

A . 16 B . 15 C . 14 D . 13

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5. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是边BC上的一点且CE=3，连结DE，动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动.设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值为（）

A . 3.5 B . 4.5 C . 3.5或5.5 D . 3.5或6.5

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6. 如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，∠ADC=120°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t(s)△DEF是等边三角形，则t的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 对于题目，“在长为 $\text{[math]}$ 的线段 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边向上作矩形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿射线 $\text{[math]}$ 方向以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长的速度运动，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，先以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，到达点 $\text{[math]}$ 后，再以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长的速度沿射线 $\text{[math]}$ 方向运动，已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时出发，运动时间为 $\text{[math]}$ ，若以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形，求 $\text{[math]}$ 的值”，甲答： $\text{[math]}$ ，乙答， $\text{[math]}$ （）

A . 只有甲答的对 B . 只有乙答的对 C . 甲、乙答案合在一起才完整 D . 甲、乙答案合在一起也不完整

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8. 如图1，点 $\text{[math]}$ 从四条边都相等的 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度匀速运动到点 $\text{[math]}$ ，图2是点 $\text{[math]}$ 运动时， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 随时间 $\text{[math]}$ 变化的关系图象，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为8，M在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， N是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 6 B . 8 C . 10 D . $\text{[math]}$

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10. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E₁ ， E₂；点F关于BC，CD的对称点为F₁ ， F₂_，在整个过程中，四边形E₁E₂F₁F₂形状的变化依次是（）

A . 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B . 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C . 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D . 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形

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11. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着长方形 $\text{[math]}$ 移动一周（即：沿着 $\text{[math]}$ 的路线移动），在移动过程中，当点P移动的时间为秒，点P与点A之间的距离为5．

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12. 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 速度运动，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度运动．如果点 $\text{[math]}$ 同时出发，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形．

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13. 如图，菱形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=8，∠BAD=60°，则线段EF长度的最小值为．

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14. 如图，在等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度运动，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度运动.如果点 $\text{[math]}$ 同时出发，设运动时间为 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形.

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15. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 边的中点，点P为对角线 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 运动，速度是 $\text{[math]}$ /秒；点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 运动，速度是 $\text{[math]}$ /秒，设它们的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点第一次相遇时， $\text{[math]}$ 秒；第 $\text{[math]}$ 次相遇时， $\text{[math]}$ 秒．

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17. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=15 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发s时其中一个新四边形为平行四边形．

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18. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为对角线的平行四边形 $\text{[math]}$ 中，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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19. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点A出发，以 $\text{[math]}$ 的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，同时动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿折线 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ；

（2）当 $\text{[math]}$ 为何值时，直线 $\text{[math]}$ 把四边形 $\text{[math]}$ 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？

（3）只改变点 $\text{[math]}$ 的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，则点 $\text{[math]}$ 的运动速度应为多少？

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20. 如图，□ABCD的对角线 AC，BD 相交于点O，AB⊥AC，BC=5，点 P从点A 出发，沿 AD 以每秒1个单位的速度向终点 D 运动.连结PO并延长，交 BC 于点Q.设点 P 的运动时间为 t秒.

（1）求 BQ的长(用含 t的代数式表示).

（2）当四边形 ABQP 是平行四边形时，求t 的值.

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21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ， ∠B=90°， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从A点开始沿AD边以 $\text{[math]}$ 的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿CB边以 $\text{[math]}$ 的速度向点B运动，P ， Q分别从A ， C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 $\text{[math]}$ ．

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

（2）当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？

（3）问：四边形PQCD是否能成菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由.

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22. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度从点 $\text{[math]}$ 山发，沿线段 $\text{[math]}$ 方向运动，动点 $\text{[math]}$ 同时以每秒4个单位长度的速度从点 $\text{[math]}$ 出发，沿正方形的边 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 相遇时停止运动，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）运动时间为秒时，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 相遇；

（2）求 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 是等腰三角形？

（3）用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，并写出相应 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（4）连接 $\text{[math]}$ ，当以点 $\text{[math]}$ 及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和 $\text{[math]}$ 全等时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时除外）．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点B的坐标为 $\text{[math]}$ ．

（1）填空：点C的坐标为　　；平行四边形 $\text{[math]}$ 的对称中心的点的坐标为　　；

（2）动点P从点O出发，沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时，另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，t为何值时， $\text{[math]}$ 的面积是平行四边形 $\text{[math]}$ 面积的一半？

（3）当 $\text{[math]}$ 的面积是平行四边形 $\text{[math]}$ 面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

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24. 如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．

（1）当四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的 $\text{[math]}$ 时，求出两动点的运动时间t．

（2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为 $\text{[math]}$ cm？若存在，则求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．

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25. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 边上的一动点 $\text{[math]}$ 不含端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点．

（1）已知 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．

（2）设 $\text{[math]}$ ，若存在点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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26. 如图（1），在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发，在线段 $\text{[math]}$ 上以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，有动点 $\text{[math]}$ 同时从 $\text{[math]}$ 点出发，在线段 $\text{[math]}$ 上以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接 $\text{[math]}$ ，若运动时间是 $\text{[math]}$ 秒．

（1）求当四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 其中一个是平行四边形时， $\text{[math]}$ 的取值；

（2）如图（2），取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出使 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的时间 $\text{[math]}$ ；

（3）在（2）中，继续连接 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 相交与点 $\text{[math]}$ ，如图（3）当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，请写出一个与EF有关的结论，并证明这个结论．

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27. 如图①，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4.点P从点A出发，沿A→D→C→D 运动，速度为每秒2个单位长度：点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度、P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t(秒).连结PQ、AC、CP、CQ.

（1）点P运动到点C时，t=秒；当点Q运动到终点时，PC的长度为.

（2）用含t的代数式表示PD的长.

（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值.

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28. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， O为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 经过点O.

（1）如图1，求证四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，并求 $\text{[math]}$ 长；

（2）如图2，动点P、O分别从A、C两点同时出发，沿 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 各边匀速运动一周.即点P自 $\text{[math]}$ 停止，点Q自 $\text{[math]}$ 停止.在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒 $\text{[math]}$ ，点Q的速度为每秒 $\text{[math]}$ ，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请画出符合题意的图形，并求a与b满足的数量关系式.

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29. 如图，在长方形ABCD中， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 的方向向点 $\text{[math]}$ 运动，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 运动.若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为ts，连结DE、DF.

（1）当t=1时，四边形DEBF的面积等于 $\text{[math]}$ .

（2）当 $\text{[math]}$ 为何值时，线段EF长为 $\text{[math]}$ ?

（3）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ?

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30. 在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题．

小组	探究内容	图形
第一小组	把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，与 $\text{[math]}$ 重叠部分记为 $\text{[math]}$ ．
第二小组	步骤：1：把矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，点E，F分别为 $\text{[math]}$ 上的点．步骤2：P为边 $\text{[math]}$ 上动点（与点B，C不重合）， $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ．
第三小组	步骤1：把矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，点G，H分别为 $\text{[math]}$ 上的点．步骤2：P为边 $\text{[math]}$ 上动点（与点B，C不重合）， $\text{[math]}$ 沿过点P的一条折痕折叠得到 $\text{[math]}$ ．

根据以上各小组探究内容，求解下列问题．

（1）根据第一小组探究内容，求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形．

（2）根据第二小组探究内容，当P， $\text{[math]}$ ， E三点在同一直线上时，求 $\text{[math]}$ 的长度．

（3）根据第三小组探究内容，过点P的折痕使 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上，请直接写出折痕条数与 $\text{[math]}$ 长度取值范围的关系．

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31. 综合与实践

（1）【教材情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是BC的中点， $\text{[math]}$ ， EP与正方形的外角 $\text{[math]}$ 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题，请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

（2）【实践探究】
“希望小组”受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接CP，可以求出 $\text{[math]}$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

（3）【拓展迁移】
“突击小组”深入研究“希望小组”提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当 $\text{[math]}$ 时，△ADP周长的最小值为．（直接写出结果）

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2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破21图形变换（2）：动点问题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

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2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破21图形变换（2）：动点问题

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