2024年中考数学热点探究九特殊三角形中的分类讨论、存在性问题

1. 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）

A . 2cm B . 4cm C . 6cm D . 8cm

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2. 在△ABC和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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3. 已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程. $\text{[math]}$ 的两个根，则k的值为（）

A . 7 B . 7或6 C . 6或-7 D . 6

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4. 如图，在平面直角坐标系中，等边 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 位似，位似中心是原点O，且 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的16倍，则点A对应点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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5. 已知直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是第一象限内的点.若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（）

A . （1，1） B . （1，1）或（1，2） C . （1，1）或（1，2）或（2，1） D . （0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）

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6. 已知等腰△ABC ， AD为BC边上的高，且 $\text{[math]}$ 则等腰△ABC的底角的度数为（　　）

A . 45° B . 75°或60° C . 45°或75° D . 以上都不对

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7. 如图，BD是 $\text{[math]}$ 的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（　　）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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8. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 若在此矩形上存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，则点 $\text{[math]}$ 的个数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（）

A . 6或2 B . 3或 $\text{[math]}$ C . 2或3 D . 6或 $\text{[math]}$

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10. 一个等腰三角形的顶角为140°，则它一腰上的高与另一腰的夹角为 $\text{[math]}$ ．

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11. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，D是 $\text{[math]}$ 上一点（点D与点A不重合）.若在 $\text{[math]}$ 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 $\text{[math]}$ 长的取值范围是.

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12. 在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 边上一动点，将△ACD沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，使点A落在点E处，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时， $\text{[math]}$ ．

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13. 如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为

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14. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P ，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：．

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15. 平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 分别与函数 $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 轴负半轴上存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角顶点的等腰直角三角形，则 $\text{[math]}$ 为．

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16. 已知，一次函数 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点A、B，在x轴上存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，则P点的坐标是．

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17. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE.若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是.

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18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC-AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝ $\text{[math]}$ BC；②在函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x-2020）²-1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是．

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19. 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的线段 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“等幂三角形”，点R称为线段 $\text{[math]}$ 的“等幂点”．

（1）已知 $\text{[math]}$ ，若存在等腰 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的“等幂三角形”，求点B的坐标；

（2）已知点C的坐标为 $\text{[math]}$ ，点D在直线 $\text{[math]}$ 上，记图形M为以点 $\text{[math]}$ 为圆心，2为半径的 $\text{[math]}$ 位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段 $\text{[math]}$ 的“等幂三角形” $\text{[math]}$ 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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20. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向终点 $\text{[math]}$ 匀速运动．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 不和点 $\text{[math]}$ 重合时，作点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．

（1） BC=；

（2）求 $\text{[math]}$ 的长． $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$

（3）取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
$\text{[math]}$ 连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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21. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交线段 $\text{[math]}$ （如图1）或线段 $\text{[math]}$ 的延长线（如图2）于点 $\text{[math]}$ ．

图1 图2 备用图

（1）当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）若点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位长的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，求点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的距离不大于1的时长；

（4）当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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22. 如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点D出发，沿射线 $\text{[math]}$ 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段 $\text{[math]}$ 上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P ， Q分别从点D ， C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）设 $\text{[math]}$ 的面积为S ，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

（3）当t为何值时，以B ， P ， Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?

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23. 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，则称点C为图形G的“友好点”．

（1）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，线段OM的“友好点”是；

（2）直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点 $\text{[math]}$ 为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；

（3）已知直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的 $\text{[math]}$ 的“友好点”，直接写出d的取值范围．

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24. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ，若射线 $\text{[math]}$ 上存在点P，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形，就称点P为线段 $\text{[math]}$ 关于射线 $\text{[math]}$ 的等腰点.

（1）如图， $\text{[math]}$ ，
①若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 关于射线 $\text{[math]}$ 的等腰点的坐标是 ▲ ；

②若 $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 关于射线 $\text{[math]}$ 的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且射线 $\text{[math]}$ 上只存在一个线段 $\text{[math]}$ 关于射线 $\text{[math]}$ 的等腰点，求t的取值范围.

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25. 如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点B出发，沿BA方向向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1个单位/s，连接PQ ．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）设△APQ的面积为S ，则S＝；（用含t的代数式表示）

（2）如图乙，连接PC ，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP’C ，当四边形PQP’C为菱形时，求t的值；

（3）当△APQ是等腰三角形时，求t的值？

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26. 如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上的两点，若直径 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“幸运角”.

（1）如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“幸运角”吗？请说明理由；

（2）设 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 的“幸运角”度数；

（3）在（1）的条件下，直径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“幸运角”为 $\text{[math]}$ .
①如图3，连结 $\text{[math]}$ ，求弦 $\text{[math]}$ 的长；
②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

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2024年中考数学热点探究九特殊三角形中的分类讨论、存在性问题

一、选择题（每题2分，共18分）

二、填空题（每题2分，共18分）

三、解答题（共8题，共84分）

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