备考2024年中考数学计算能力训练3 整式的运算

1. 计算 $\text{[math]}$ 的结果是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 下列计算正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 下列计算正确的是（　　）

A . 3x+3y=6xy B . a²•a³=a⁶ C . b⁶÷b³=b² D . （m²）³=m⁶

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4. 下列计算正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 下列运算正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 观察一列单项式：x ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ⋯．则第n个单项式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 若k为任意整数，则 $\text{[math]}$ 的值总能（）

A . 被2整除 B . 被3整除 C . 被5整除 D . 被7整除

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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9. 对于任意自然数n ，关于代数式（n+7）²﹣（n﹣5）²的值，说法错误的是（　　）

A . 总能被3整除 B . 总能被4整除 C . 总能被6整除 D . 总能被7整除

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10. 若2a-3b=-1，则代数式 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -1 B . 1 C . 2 D . 3

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11. 已知关于 $\text{[math]}$ 的两个多项式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．其中a为常数，下列说法：
①若 $\text{[math]}$ 的值始终与 $\text{[math]}$ 无关，则 $\text{[math]}$ ；
②关于x的方程 $\text{[math]}$ 始终有两个不相等的实数根；
③若 $\text{[math]}$ 的结果不含 $\text{[math]}$ 的项，则 $\text{[math]}$ ；
④当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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12. 对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”．例如：对 $\text{[math]}$ 作“差绝对值运算”，得到 $\text{[math]}$ ，则
$\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 作“差绝对值运算”的结果是 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 进行“差绝对值运算”的结果是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ （互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有 $\text{[math]}$ 种．
以上说法中正确的个数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 已知3x+y=-3， xy=-6，则 $\text{[math]}$ =.

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14. 若实数m满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的值为.

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16. 小明在化简： $\text{[math]}$ 时发现系数“□”印刷不清楚，老师提示他：“此题的化简结果是常数”，则多项式中的“□”表示的数是.

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17. 如果一个三位自然数 $\text{[math]}$ 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 $\text{[math]}$ ，那么称这个三位数为“中庸数”．将“中庸数” $\text{[math]}$ 的百位、个位数字交换位置，得到另一个“中庸数” $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．计算 $\text{[math]}$ ；若“中庸数” $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为自然数1，2，3……，则该“中庸数” $\text{[math]}$ 是．

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18. 一个四位自然数M，若它的千位数字与十位数字的差为3，百位数字与个位数字的差为2，则称M为“接二连三数”，则最大的“接二连三数”为；已知“接二连三数”M能被9整除，将其千位数字与百位数字之和记为P，十位数字与个位数字之差记为Q，当 $\text{[math]}$ 为整数时，满足条件的M的最小值为．

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19. 计算：

（1） $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ ；

（3） $\text{[math]}$ ．

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20. 计算：

（1） $\text{[math]}$ ．

（2） $\text{[math]}$ ．

（3） $\text{[math]}$ ．

（4） $\text{[math]}$ ．

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21. （x+2）²+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝ $\text{[math]}$ .．

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22. $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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23. 先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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24. 观察下面的等式： $\text{[math]}$

（1）写出 $\text{[math]}$ 的结果．

（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）

（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．

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25. 尝试：① $\text{[math]}$ .
② $\text{[math]}$ .
③ $\text{[math]}$ _▲_
...
运用：小滨给出了猜想和证明，请判断是否正确，若有错误请给出正确解答.
猜想： $\text{[math]}$ .
证明： $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ .
所以 $\text{[math]}$ .
因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ .
所以等式不成立，结论错误.

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26. 已知实数a、b满足（2a²+b²+1）（2a²+b²-1）＝80，试求2a²+b²的值．解：设2a²+b²＝m ，则原方程可化为（m+1）（m-1）＝80，即m²＝81，解得：m＝±9，∵2a²+b²≥0，∴2a²+b²＝9，上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．根据以上阅读材料，解决下列问题：

（1）已知实数x、y满足（2x²+2y²-1）（x²+y²）＝3，求3x²+3y²-2的值；

（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个正整数．

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27. 阅读下列材料：
我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式x²+2x-3的最小值．
解：x²+2x-3＝x²+2x+1²-1²-3＝（x²+2x+1²）-4＝（x+1）²-4．
∵（x+1）²≥0，∴（x+1）²-4≥-4，
∴当x＝-1时，x²+2x-3的最小值为-4．
再例如：求代数式-x²+4x-1的最大值．
解：-x²+4x-1＝-（x²-4x+1）＝-（x²-4x+2²-2²+1）
＝-[（x²-4x+2²）-3]＝-（x-2）²+3
∵（x-2）²≥0，∴-（x-2）²≤0，∴-（x-2）²+3≤3．
∴当x＝2时，-x²+4x-1的最大值为3．

（1）【直接应用】代数式x²+4x+3的最小值为；

（2）【类比应用】若M＝a²+b²-2a+4b+2023，试求M的最小值；

（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20m的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．

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28. 在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b＝5，ab＝3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a²+b²的值．具体做法如下：
a²+b²＝a²+b²+2ab-2ab＝（a+b）²-2ab＝5²-2×3＝19．

（1）若a+b＝7，ab＝6，则a²+b²＝；

（2）若m满足（8-m）（m-3）＝3，求（8-m）²+（m-3）²的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设8-m＝a，8-m＝a，m-3＝b，
则a+b＝（8-m）+（m-3）＝5，a+b＝（8-m）+（m-3）＝5，ab＝（8-m）（m-3）＝3，
所以（8-m）²+（m-3）²＝a²+b²＝（a+b）²-2ab＝5²-2×3＝19．
请参照上述方法解决下列问题：若（3x-2）（10-3x）＝6，求（3x-2）²+（10-3x）²的值；

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29. 利用完全平方公式 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的特点可以解决很多数学问题 $\text{[math]}$ 下面给出两个例子：
例 $\text{[math]}$ 、分解因式： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
例 $\text{[math]}$ 、求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值：
$\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，代数式 $\text{[math]}$ 有最小值，最小值是 $\text{[math]}$ ．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：

（1）分解因式： $\text{[math]}$ ；

（2）代数式 $\text{[math]}$ 有最 $\text{[math]}$ 大、小 $\text{[math]}$ 值，当 $\text{[math]}$ 时，最值是；

（3）当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为何值时，多项式 $\text{[math]}$ 有最小值？并求出这个最小值．

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30. 发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是 $\text{[math]}$ 的倍数．如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 倍； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 倍．

（1）请你仿照上面的例子，再举出一个例子： $\text{[math]}$ ；

（2）十位数字为1，个位数字为 $\text{[math]}$ 的两位数可表示为，若该两位数的平方与 $\text{[math]}$ 的平方的差是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 倍，则 $\text{[math]}$ ；

（3）设一个两位数的十位数字为 $\text{[math]}$ ，个位数字为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正整数），请用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子论证“发现”的结论是否符合题意．

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31. 灵活运用完全平方公式 $\text{[math]}$ 可以解决许多数学问题．
例如：已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
解： $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
请根据以上材料，解答下列问题．

（1）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为相反数，求 $\text{[math]}$ 的值．

（2）如图，矩形的长为a，宽为b，周长为14，面积为8，求 $\text{[math]}$ 的值．

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32. 定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．
例如，三位正整数234，因为 $\text{[math]}$ ，所以234是“半和数”．

（1）判断147是否为“半和数”，并说明理由；

（2）小林列举了几个“半和数”：111、123、234、840…，并且她发现： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …，所以她猜测任意一个“半和数”都能被3整除．小林的猜想正确吗？若正确，请你帮小林说明该猜想的正确性；若错误，说明理由．

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