2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破5 平移与旋转的相关综合题

1. 如图，面积为3的等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点B、点C在x轴上，且 $\text{[math]}$ 、C $\text{[math]}$ ，规定把 $\text{[math]}$ “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后， $\text{[math]}$ 顶点A的坐标为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为中心逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ，其中所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ②③ C . ①③ D . ①②③

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3. 如图，边长为6的等边三角形 $\text{[math]}$ 中，E是对称轴 $\text{[math]}$ 上一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转60度得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则在点E运的过程中， $\text{[math]}$ 最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，已知△ABC绕点A逆时针旋转a（0＜a＜∠BAC）得到△ADF，AB＝AC，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：①△ABF≌△AEH：②FG＝CC：③连接AG、FH，则AG⊥FH：④当DF的长度最大时，AD平分∠BAC．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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5. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， P是 $\text{[math]}$ 上一动点，将点P绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线 $\text{[math]}$ 上的一条动线段且 $\text{[math]}$ （Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）

A . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） B . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） C . （0，0） D . （1，1）

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7. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，使点 $\text{[math]}$ 落在斜边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =°.

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8. 如图，点P是等边三角形 $\text{[math]}$ 内的一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为．

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9. 如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10．在旋转过程中，当∠ADM=90时，则AM的长为，若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D₁转到其内的点D₂处，连结D₁D₂ ，如图2，此时∠AD₂C=135°，CD₂=60，则BD₂的长为．

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10. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B按逆时针方向旋转α度得到 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ 刚好落在 $\text{[math]}$ 边上，则 $\text{[math]}$ ．

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11. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ ．

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12. 如图，已知在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在线段AB上，△CBD绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△CAE，点B和点D的对应点分别是点A和点E，点M在线段AB上，且△CEM与△CDM恰好关于直线CM成轴对称，如果AM：MD：DB＝3：5：4，△ABC的面积为24，那么△AME的面积为．

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13. 如图，等边三角形ABC的顶点A、B坐标分别为（1，1）和（3，1），规定将等边三角形ABC先沿x轴翻折，再向左平移1个单位为第一次变换，则这样连续经过2021次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点A关于 $\text{[math]}$ 轴对称，点 $\text{[math]}$ 先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 $\text{[math]}$ ．

（1）描出点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，并依次连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ；

（2）将（1）中的 $\text{[math]}$ 的各顶点的横坐标和纵坐标都乘 $\text{[math]}$ ，得到点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ ，在平面直角坐标系中描出点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，并依次连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ；

（3）在（2）的条件下， $\text{[math]}$ ．

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15. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是平面直角坐标系上三点．

（1）请画出 $\text{[math]}$ 关于y轴对称的 $\text{[math]}$

（2）请画出 $\text{[math]}$ 向上平移4个单位，向右平移5个单位得到的 $\text{[math]}$ ；

（3）如果将 $\text{[math]}$ 各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，所得到的三角形和原三角形的形状和大小有什么关系？

（4）在x轴上找一点E，使 $\text{[math]}$ 最小（保留作图痕迹），并求出这个最小距离的值．

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16. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在同一平面内，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的位置，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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17. 阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；

（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF²＝BE²+FC²；

（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

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18. 阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．
如图1， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，此时，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合．

（1）操作探究1：小凡将图1中的两个全等的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按图2方式摆放，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 所在直线交 $\text{[math]}$ 所在直线于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

（2）操作探究2：小彬将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转角度 $\text{[math]}$ ，然后，分别延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，它们相交于点 $\text{[math]}$ ．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
① $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 为等边三角形；

②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．（直接回答即可）

（3）操作探究3：小颖将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点A按顺时针方向旋转角度 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，当旋转到点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点时（可利用图4画图），直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴，y轴交于B、A两点.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）将线段AB向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到线段CD，如图所示
①点C的坐标为 ▲ ，并求出线段CD所在直线的解析式；

②连接AC、BC，若直线AC的解析式为 $\text{[math]}$ ，直线BC的解析式为 $\text{[math]}$ ，直接写出关于x的不等式组 $\text{[math]}$ 的解集.

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20. 如图1．在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．将直线 $\text{[math]}$ 竖直向上平移2个单位后与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ．

（1）求点C的坐标；

（2）连接 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点E，使得 $\text{[math]}$ ．若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过B作 $\text{[math]}$ 轴且 $\text{[math]}$ ；若点G沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒2个单位长度运动，同时， $\text{[math]}$ 点沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒1个单位长度运动经过t秒的运动， $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．问： $\text{[math]}$ 能否平分 $\text{[math]}$ ？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数： $\text{[math]}$ 的图象交x轴于点C，交y轴于点D，与直线 $\text{[math]}$ 交于点P．

（1）用m，n表示点P的坐标，并求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）若四边形 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，试求点P的坐标及直线 $\text{[math]}$ 的关系式；

（3）如图2，在（2）的条件下，将直线 $\text{[math]}$ 向下平移9个单位得到直线l，直线l交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，在坐标轴上是否存在点F，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与 $\text{[math]}$ 相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ．

（1）【发现问题】如图27，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；

（2）【探究猜想】如图28，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；

（3） [拓展应用]如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是线段BC上的任意一点连接AP ，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ ，连接CQ ，请求出线段CQ长度的最小值．

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23. 如图

（1）【操作发现】如图①，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD=度；

（2）【类比探究】如图②，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形；

（3）【解决问题】如图③，在边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形ABC内有点P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积；

（4）【拓展应用】如图④是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量，AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．

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24. 【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”.
如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内的一点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转60°到 $\text{[math]}$ ，则可以构造出等边 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的值转化为 $\text{[math]}$ 的值，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共线时，线段 $\text{[math]}$ 的长为所求的最小值，即点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“费马点”.

（1）【拓展应用】
如图1，点 $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 内的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转60°得到 $\text{[math]}$ .
①若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的距离是 ▲ ；
②当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）如图2，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内的一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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