解：∵直线

A B

向下平移9个单位得到直线l，

∴直线l的解析式为： $y = 3 x + 6 = 3 x + 6 - 9 = 3 x - 3$ ，

当点F在x轴上，如图2，过点E作 $E H ⊥ x$ 轴于点H，过点P作 $P K ⊥ x$ 轴于点K，

∵ $△ P E F$ 是以 $P E$ 为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F，

∴ $∠ E F P = 90 °$ ， $E F = F P$ ，

∴ $∠ E F H + ∠ P F K = 90 °$ ，

又∵ $∠ E F H + ∠ H E F = 90 °$ ，

∴ $∠ H E F = ∠ P F K$ ，

在 $△ E H F$ 和 $△ F K P$ 中，

${\begin{matrix} ∠ P K F = ∠ F H E \\ ∠ H E F = ∠ P F K \\ P F = E F \end{matrix}$ ，

∴ $△ E H F ≅ △ F K P (A A S)$ ，

∴ $E H = F K$ ， $F H = P K$ ，

设点E的坐标为： $(t ， 3 t - 3)$ ，点F的坐标为： $(a ， 0)$ ，则 $E H = 3 t - 3$ ， $F H = t - a$ ，

由（1）可知点 $P (- \frac{1}{2} ， \frac{9}{2})$ ，则 $P K = \frac{9}{2}$ ，

∴ ${\begin{matrix} 3 t - 3 = a + \frac{1}{2} \\ t - a = \frac{9}{2} \end{matrix}$ ，解得： ${\begin{matrix} t = - \frac{1}{2} \\ a = - \frac{10}{2} \end{matrix}$ ，

∴点F的坐标为： $(- \frac{10}{2} ， 0)$ ；

当点F在y轴上时，如图3，过点P作 $P W ⊥ y$ 轴于W，过点E作 $E S ⊥ y$ 于点S，

∵ $△ P E F$ 是以 $P E$ 为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F，

∴ $∠ P F E = 90 °$ ， $P F = E F$ ，

∴ $∠ P F W + ∠ E F S = 90 °$ ，

又∵ $∠ E F S + ∠ S E F = 90 °$ ，

∴ $∠ P F W = F E S$ ，

又∵ $∠ P W F = ∠ F S E = 90 °$ ，

∴ $△ P W F ≅ △ F S E (A A S)$ ，

∴ $S E = W F$ ， $S F = P W$ ，

由（1）可知点 $P (- \frac{1}{2} ， \frac{9}{2})$ ，则 $P W = S F = \frac{1}{2}$ ，

设点E的坐标为： $(b ， 3 b - 3)$ ，点F的坐标为： $(0 ， c)$ ，则 $S E = b$ ， $S F = 3 b - 3 - c$ ，

∴ ${\begin{matrix} b = \frac{9}{2} - c \\ 3 b - 3 - c = \frac{1}{2} \end{matrix}$ ，解得 ${\begin{matrix} c = \frac{5}{2} \\ b = 2 \end{matrix}$ ，

∴点F的坐标为： $(0 ， \frac{5}{2})$ ．

2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破5 平移与旋转的相关综合题