【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第一章三角形的证明章末检测

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使 $\text{[math]}$ 为等腰三角形．下列作法不正确的是（）

A . B . C . D .

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2. $\text{[math]}$ 的三边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．下列条件： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ∶ $\text{[math]}$ ∶ $\text{[math]}$ ∶ $\text{[math]}$ ∶ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ∶ $\text{[math]}$ ∶ $\text{[math]}$ ∶ $\text{[math]}$ ∶ $\text{[math]}$ ．其中能判断 $\text{[math]}$ 是直角三角形的个数有（）

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的高BD、CE交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则AC的长为（）

A . 18 B . 20 C . 22 D . 24

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4. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线与 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交于点O，点E在 $\text{[math]}$ 上，点F在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点C与点 $\text{[math]}$ 恰好重合时，则 $\text{[math]}$ 的度数（）

A . 90° B . 92° C . 95° D . 98°

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5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ +1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角，AM=2 $\text{[math]}$ EF，则正方形ABCD的面积为（）

A . 14S B . 13S C . 12S D . 11S

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7. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（）

A . 128° B . 118° C . 108° D . 98°

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8. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请观察尺规作图的痕迹（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是连线与 $\text{[math]}$ 边的交点），则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交 $\text{[math]}$ 边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 为半径画弧，两弧交于点M，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，过点E作 $\text{[math]}$ 交AB于点D，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为（）

A . 8 B . 11 C . 10 D . 13

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10. 如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD和△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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11. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°，则底角∠B的大小为．

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12. 下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等.它们的逆命题成立的有.（填序号）

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13. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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14. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是边BC的中点，直线MN是AB的垂直平分线，点E是MN上的一个动点，则△BDE周长的最小值是．

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15. 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点.已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为.

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16. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 $\text{[math]}$ 运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ .

（1）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ 时，求此时 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 的平分线上，求 $\text{[math]}$ 的值.

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17. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ .

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18. 如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 分别与x轴、y轴相交于点A、B ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，交直线 $\text{[math]}$ 于点C ．

（1）求点C的坐标；

（2）如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，过点B作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点D ，交x轴于点E求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

（3）在x轴上寻找点F使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，请直接写出点F的坐标．

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19. $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形，点P是直线 $\text{[math]}$ 上的一点（不与B、C重合），以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，点P在边 $\text{[math]}$ 上．
①请说明： $\text{[math]}$ ；
②求出 $\text{[math]}$ 周长的最小值；

（2）当点P在点B的左侧时，在图2中画出符合题意的图形，并直接写出 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

（3）直接写出当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时， $\text{[math]}$ 的长．

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20.

（1）阅读理解
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，请证明他的发现；

（2）问题解决
如图②， $\text{[math]}$ ，试探索线段 $\text{[math]}$ 之间满足的等量关系，并证明；

（3）拓展探究
如图③， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是拥有公共顶点C的两个等边三角形，M点、N点、F点分别是 $\text{[math]}$ 的中点．当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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21. 综合与实践：

已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．

作法：如图1所示，

①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P；

②连接PA，PB，PC．

结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形，

理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴…….. （依据）．

同理，PA＝PC．

∴PA＝PB＝PC．

∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形

任务：

（1）上述过程中，横线上的结论为，括号中的依据为．

（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．

（3）如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择题．

A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．

B．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．

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22. 【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．

（1）【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．显然， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别表示出梯形 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则它们满足的关系式为，经化简，可得到勾股定理．

（2）如图2，河道上 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（看作直线上的两点）相距160米， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个菜园（看作两个点）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，现在菜农要在 $\text{[math]}$ 上确定一个抽水点 $\text{[math]}$ ，使得抽水点 $\text{[math]}$ 到两个菜园 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离和最短，则该最短距离为米．

（3）【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值 $\text{[math]}$ ．

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【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第一章三角形的证明章末检测

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)

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【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第一章 三角形的证明 章末检测

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)

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