【B卷】第二章 二次函数—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试

修改时间:2024-01-15 浏览次数:57 类型:单元试卷 编辑

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一、选择题(每题3分,共30分)

  • 1. 关于x的一元二次方程(m﹣3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为(  )
    A . 0 B . ±3 C . 3 D . ﹣3
  • 2.  已知点P1x1y1),P2x2y2)为抛物线yax2﹣4ax+ca≠0)上两点,且x1x2 , 则下列说法正确的是(      )
    A . x1+x2<4,则y1y2 B . x1+x2>4,则y1y2 C . ax1+x2﹣4)>0,则y1y2 D . ax1+x2﹣4)<0,则y1y2
  • 3.  如图, 正方形OABC有三个顶点在抛物线  上, 点  是原点, 顶点  在 轴上则顶点  的坐标是 ( )

    A . B . C . D .
  • 4. 在抛物线y=a(x﹣m﹣1)2+c(a≠0)和直线y=﹣ x的图象上有三点(x1 , m)、(x2 , m)、(x3 , m),则x1+x2+x3的结果是(   )
    A . B . 0 C . 1 D . 2
  • 5. 已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同,开口方向相反,且顶点坐标为(1,2023),则该抛物线对应的函数表达式为(  )
    A . B . C . D .
  • 6. 设函数是实数, , 当时,;当时,.据此可知( ).
    A . , 则 B . , 则 C . , 则 D . , 则
  • 7. 如图所示,一座抛物线形的拱桥在正常水位时,水面AB宽为20米,拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米.如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD , 那么CD宽为(  )

    A . 4 B . 10米 C . 4 D . 12米
  • 8. 如图,正方形的边长为分别为各边上的点,且 , 设小正方形的面积为 , 则关于的函数图象大致是( )

    A . B . C . D .
  • 9. 已知抛物线的位置如图所示,甲、乙、丙三人关于x的一元二次方程的根的情况判断如下,其中正确的有(   )

    甲:当时,该方程没有实数根;

    乙:当时,该方程有两个相等实数根;

    丙:当时,该方程有两个不相等的实数根.

    A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个
  • 10. 题目:“如图,抛物线与直线相交于点和点B.点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点,直接写出点M的横坐标的取值范围.”对于其答案,甲答: , 乙答: , 丙答: , 丁答: , 则正确的是(   )

    A . 只有甲答的对 B . 甲、乙答案合在一起才完整 C . 甲、丙答案合在一起才完整 D . 甲、丁答案合在一起才完整

二、填空题(每题3分,共15分)

  • 11. 已知函数是二次函数,则  .
  • 12. 如图①,抛物线的顶点为 , 平行于轴的直线与该抛物线交于点(点在点的左侧),根据对称性知恒为等腰三角形,我们规定:当为直角三角形时,就称为该抛物线的“完美三角形”.如图②,抛物线的“完美三角形”的斜边的长为

    ①                     ②

  • 13. 我们约定: 为函数 的关联数,当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时,该交点为“整交点”,若关联数为 的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数),则这个函数图象上整交点的坐标为.
  • 14. 已知某函数的图象过两点,下面有四个推断:

    若此函数的图象为直线,则此函数的图象经过

    若此函数的图象为抛物线,且经过 , 则该抛物线开口向下;

    若此函数的解析式为 , 且经过原点,则

    若此函数的解析式为 , 开口向下,且 , 则的范围是

    所有合理推断的序号是 .

  • 15. 2023年5月28日,C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”,是国际民航中高级别的礼仪).如图①,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②,当两辆消防车喷水口AB的水平距离为80米时,两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米,喷水口AB距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点H'距地面 米.

三、解答题(共7题,共55分)

  • 16. 如图,在顶点为P的抛物线yax-h2+ka≠0)的对称轴l上取点Ahk+),过ABCl交抛物线于BC两点(BC的左侧),点A′和点A关于点P对称;过A′作直线ml , 又分别过点BCBEmCDm , 垂足为ED . 在这里我们把点A叫此抛物线的焦点,BC叫此抛物线的直径,矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形.

    (1) 直接写出抛物线yx2的焦点坐标以及直径的长.
    (2) 求抛物线yx-3)2+2的焦点坐标以及直径的长.
    (3) 已知抛物线yax-h2+ka≠0)的直径为 , 求a的值.
    (4) ①已知抛物线yax2+bx+ca≠0)的焦点矩形的面积为2,求a的值.

    ②直接写出抛物线yx-3)2+2的焦点矩形与抛物线yx2-2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围.

  • 17. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,直线y=x+2经过点A、C.

    (1) 求抛物线的解析式.
    (2) 若点M (m,y1)、N (m+2,y2)分别是抛物线上两点,若当m>-1时,y1y2<0,则m的取值范围为
    (3) 点D是抛物线上一个动点,当∠DCA=∠BCO时,求点D的坐标.
    (4) 若点P为抛物线上的点,H点P的横坐标为m,已知点E(m-1,1),F (1-m,1),G (3-m,-2),H(m+1,-2),当点P在四边形EFGH的内部时,直接写出m的取值范围.
  • 18. 排球考试要求:垫球后,球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某次模拟测试中,某生第一次在处将球垫偏,之后又在A两处先后垫球,球沿抛物线运动(假设抛物线在同一平面内),最终正好在处垫住,处离地面的距离为1米.如图所示,以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系,轴平行于地面水平直线 , 已知点 , 点的横坐标为 , 抛物线表达式为和抛物线表达式为

    (1) 求抛物线的函数表达式;
    (2) 第一次垫球后,球在运动中离地面的最大高度是否达到要求?请说明理由;
    (3) 为了使第三次垫球后,球在运动中离地面的最大高度达到要求,该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米?
  • 19. 中新社上海3月21日电(记者缪璐)21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中,陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军,全红婵位列第二,掌敏洁获得铜牌.在精彩的比赛过程中,全红婵选择了一个极具难度的207C(向后翻腾三周半抱膝).如图2所示,建立平面直角坐标系xOy . 如果她从点A(3,10)起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分,从起跳到入水的过程中,她的竖直高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)近似满足函数关系式yaxh2+ka<0).

    (1) 在平时训练完成一次跳水动作时,全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:

    水平距离x/m

    0

    3

    3.5

    4

    4.5

    竖直高度y/m

    10

    10

    k

    10

    6.25

    根据上述数据,直接写出k的值为 ,直接写出满足的函数关系式:

    (2) 比赛当天的某一次跳水中,全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=﹣5x2+40x﹣68,记她训练的入水点的水平距离为d1;比赛当天入水点的水平距离为d2 , 则d1d2(填“>”“=”或“<”);
    (3) 在(2)的情况下,全红婵起跳后到达最高点B开始计时,若点B到水平面的距离为c , 则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y=﹣5t2+c , 如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作,请通过计算说明,她当天的比赛能否成功完成此动作?
  • 20. 已知:是方程的两个实数根,且 , 抛物线的图像经过点 , 如图所示.

    (1) 求这个抛物线的解析式;
    (2) 设(1)中的抛物线与轴的另一交点为 , 抛物线的顶点为 , 试求出点的坐标和的面积;
    (3) 是线段上的一点,过点轴,与抛物线交于点,若直线分成面积之比为2:3的两部分,请直接写出点的坐标.
  • 21. 小爱同学学习二次函数后,对函数进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图象.请根据函数图象,回答下列问题:

    (1) 观察探究:

    写出该函数的一条性质:

    方程的解为:

    若方程有四个实数根,则的取值范围是

    (2) 延伸思考:

    将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象?写出平移过程,并直接写出当时,自变量的取值范围.

  • 22. 综合与实践

    问题情境

    小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉,为了确定售价,小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况,记录如下:


    售价(元/盆)

    日销售量(盆)

    A

    20

    50

    B

    30

    30

    C

    18

    54

    D

    22

    46

    E

    26

    38

    (1)  数据整理

    请将以上调查数据按照一定顺序重新整理,填写在下表中:

    售价(元/盆)

                            

    日销售量(盆)

             
    (2)  模型建立

    分析数据的变化规律,找出日销售量与售价间的关系;

    (3)  拓广应用

    根据以上信息,小莹妈妈在销售该种花卉中,

    ①要想每天获得400元的利润,应如何定价?

    ②售价定为多少时,每天能够获得最大利润?

试题篮