【培优卷】1.4解直角三角形—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

1. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，已知反比例函数 $\text{[math]}$ （k≠0）的图象经过矩形ABCD的对角线AC的端点A和C，AC交y轴于点F，BC边交y轴于点E，过线段FO中点G的直线 $\text{[math]}$ 与AC平行，连接AE，若∠BAE=∠ACB， $\text{[math]}$ ．则k的值为（）

A . －24 B . －16 C . －36 D . －12

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3. 如图①，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一动点，设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，图②是 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数图象，且图象上最低点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则菱形 $\text{[math]}$ 的边长为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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4. 如图，以矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；再分别以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ；作射线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点C坐标为（﹣4，0），E为BC上靠近点C的三等分点，点B、E均在反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （k＜0，x＜0）的图象上，若tan∠OAD＝ $\text{[math]}$ ，则k的值为（）

A . ﹣2 B . ﹣2 $\text{[math]}$ C . ﹣6 D . ﹣4 $\text{[math]}$

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6. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 边上的线段，点 $\text{[math]}$ 在其中某条线段上，若射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 所在的线段可以是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$

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7. 已知如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为线段 $\text{[math]}$ 上一点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，F为 $\text{[math]}$ 中点，直线 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点G.下列说法：①若连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .其中正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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8. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 $\text{[math]}$ 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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9. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D ， $\text{[math]}$ 于点E ， $\text{[math]}$ ．连接DE ，将 $\text{[math]}$ 沿直线AE翻折至 $\text{[math]}$ 所在的平面内，得 $\text{[math]}$ ，连接DF ．过点D作 $\text{[math]}$ 交BE于点G ．则四边形DFEG的周长为（）

A . 8 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如果，正方形ABCD的边长为2cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则PD等于（）

A . $\text{[math]}$ cm或 $\text{[math]}$ cm B . $\text{[math]}$ cm C . $\text{[math]}$ cm或 $\text{[math]}$ cm D . $\text{[math]}$ cm或 $\text{[math]}$ cm

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11. 如图．四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则AB的长为．

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12. 如图，将平行四边形 $\text{[math]}$ 沿着对角线 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，那么平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长为．（参考数据： $\text{[math]}$ ）

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13. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像上，顶点 $\text{[math]}$ 在第一象限，对角线 $\text{[math]}$ 轴，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .若矩形 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线 $\text{[math]}$ 上的一动点，动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ 的最小值是．

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15. 如图1，将一张等腰三角形纸片 $\text{[math]}$ 沿虚线剪开，得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片.小博按图2方式拼接，恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形；小雅按图3方式拼接，也拼出一个矩形 $\text{[math]}$ ，但由于两个四边形纸片有重叠（阴影）部分，整个面积减少了 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .

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16. 已知等边 $\text{[math]}$ ，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点

（1）如图1， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$

（2）如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AD的长．

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17. $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的一点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的左侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；

（2）如图2．当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，请判断（ $\text{[math]}$ ）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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18. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按图2所示方式摆放，其中点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合（标记为点 $\text{[math]}$ ）．当 $\text{[math]}$ 时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．


（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；

（2）深入探究：老师将图2中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 内部，并让同学们提出新的问题．


①“善思小组”提出问题：如图3，当 $\text{[math]}$ 时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．试猜想线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；



②“智慧小组”提出问题：如图4，当 $\text{[math]}$ 时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．请你思考此问题，直接写出结果．



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19. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E，F分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，E是 $\text{[math]}$ 的中点．
①如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
②如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）如图3，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点G，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ．

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20. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ．

（1）填空：如图①，点C的坐标为，点G的坐标为；

（2）将矩形 $\text{[math]}$ 沿水平方向向右平移，得到矩形 $\text{[math]}$ ，点E，F，G，H的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为S．

①如图②，当边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点M、边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点N，且矩形 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：

②当 $\text{[math]}$ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

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21. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫关联三角形.

（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为关联三角形.

（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，连结EG.求证：△ABC与△AEG为关联三角形.

（3）在△ABC中，∠A=30°，AC=8，点D在线段AC上，连接BD，△ABD和△BCD是关联三角形，将△ABD沿BD所在的直线翻折，得到△A₁BD，若△A₁BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，求△ABC的面积.

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22. 【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果 $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点．

（1）【问题发现】如图1，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值是；

（2）【尺规作黄金分割点】如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；

（3）【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $\text{[math]}$ 得折痕 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 对应点 $\text{[math]}$ ，得折痕 $\text{[math]}$ ，试说明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的黄金分割点；

（4）【拓展延伸】如图4，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的黄金分割点时， $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，请用相似的知识求出 $\text{[math]}$ 的值为．

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【培优卷】1.4解直角三角形—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共55分）

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【培优卷】1.4解直角三角形—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共55分）

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