（B卷）第一章解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试

1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式不一定成立的（）

A . a＝csinA B . a＝btanA C . $\text{[math]}$ D . sin²A+sin²B＝1

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2. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，⊙O是以坐标原点O为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（）

A . 8π B . $\text{[math]}$ C . 8π﹣16 D . $\text{[math]}$

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4. 用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是（　　）

A . B . C . D .

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5. 如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，则 PQ的值为（）

A . a B . 1.5a C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与地面垂直且 $\text{[math]}$ ，则灯顶A到地面的高度为（）m

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是.（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 图1是某公园的一个滑梯，图2是其示意图.滑梯的高BC为2m，坡角∠A为60°，由于滑梯坡角过大存在安全隐忠，公园管理局决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离AB，使得坡角∠A满足30°≤∠A≤45°，则AB加长的距离可以是（）
（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.414， $\text{[math]}$ ≈1.732）

A . 0.8m B . 1.6m C . 2.4m D . 3.2m

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9. 如图1，以 $\text{[math]}$ 的各边为边向外作等边三角形，编号分别为①，②，③．如图2，将①，②叠放在③中，若四边形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之比是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．若⊙M与线段EN只有一个公共点，则t的取值范围为（）

A . 0＜t≤ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ＜t＜6 B . 0＜t≤ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ＜t＜8 C . 0＜t≤ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ＜t＜6 D . 0＜t≤ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ＜t＜8

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11. 如图1是一款手机支架，水平放置时，它的侧面示意图如图2所示，其中线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是支撑杆且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可以自由调节大小 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好在点 $\text{[math]}$ 的正上方，则线段 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；如图3，保持 $\text{[math]}$ 不变，旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恰好在一条直线上，则此时点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 上升的竖直高度为 $\text{[math]}$ .

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12. 如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为cm²

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13. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y= $\text{[math]}$ ，则图象经过点D的反比例函数的解析式是．

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14. 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、OB ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 CD ，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．

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15. 如图，为了配合疫情工作，浦江某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.5米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为 $\text{[math]}$ ，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为 $\text{[math]}$ ，则学校大门ME的高是米.

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16. 如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为米(精确到1米，参考数据 $\text{[math]}$ ≈1.414， $\text{[math]}$ ≈1.732)。

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17. 设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断aⁿ+bⁿ与cⁿ的关系，并证明你的结论．

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18. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，并经过 $\text{[math]}$ 边的中点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ．

（2）求 $\text{[math]}$ 的值．

（3）若 $\text{[math]}$ ，试在 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ （不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），使直线 $\text{[math]}$ 经过四边形 $\text{[math]}$ 一边的中点，求所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的值．

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19. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度 $\text{[math]}$ ，识别的最远水平距离 $\text{[math]}$ 。

（1）身高 $\text{[math]}$ 的小杜，头部高度为 $\text{[math]}$ ，他站在离摄像头水平距离 $\text{[math]}$ 的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别。

（2）身高 $\text{[math]}$ 的小若，头部高度为 $\text{[math]}$ ，踮起脚尖可以增高 $\text{[math]}$ ，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为 $\text{[math]}$ （如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明。
（精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据 $\text{[math]}$ ）

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20. 如图

（1）【问题发现】如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为；

（2）【问题探究】如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A= $\text{[math]}$ =30°，∠C=∠C'=90°），绕点B旋转 $\text{[math]}$ ，当旋转至CC′=4时，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）【问题解决】如图3，点O为等腰Rt $\text{[math]}$ ABC的斜边AB的中点，AC=BC=5 $\text{[math]}$ ， OE=2，连接BE，作Rt $\text{[math]}$ BEF，其中∠BEF=90°，tan∠EBF= $\text{[math]}$ ，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．

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21. 足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得 $\text{[math]}$ （此时也有 $\text{[math]}$ ）时，恰好能使球门AB的张角 $\text{[math]}$ 达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.

（1）如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点；

（2）如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门， $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
①用含a的代数式表示DQ的长度并求出 $\text{[math]}$ 的值；

②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为 $\text{[math]}$ ，若此时守门员站在张角 $\text{[math]}$ 内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a的代数式表示）

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22. 如图

（1）【基础巩固】如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三形，点B、D、E在同条直线上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F.求证： $\text{[math]}$ .

（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度.

（3）【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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23. 【证明体验】

（1）如图1，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 和对角线 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

（2）【思考探究】
如图2，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 和对角线 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

（3）【拓展延伸】
如图3，菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BE的长．

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24. 如图

（1）【问题背景】如图1，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°则 $\text{[math]}$ = .

（2）【迁移应用】如图2，△ABC和△ABE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同-条直线上，连结BD．求线段AD，BD，CD之间的数量关系式；

（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连结AE并延长交BM于点F，连结CE， CF．若AE=4，CE=1．求BF的长.

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25. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上从点 $\text{[math]}$ 匀速运动到点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好从 $\text{[math]}$ 上某一点匀速运动到点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ .

（2）求 $\text{[math]}$ 的长与 $\text{[math]}$ 的值.

（3）连结 $\text{[math]}$ .
①当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 一边垂直时，求所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的值.
②线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积比.

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（B卷）第一章解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

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