解：①作BE⊥AQ于E， ∵最佳射门点为点Q， ∴

∠ B Q D = ∠ D A Q

，

∵ $C D ⊥ A B$ ，

∴ $∠ B D Q = ∠ A D Q = 90 °$ ，

∴△ADQ∽△QDB，

∴ $\frac{A D}{D Q} = \frac{D Q}{B D}$ ，

∵ $A B = 3 a$ ， $B D = a$ ，

∴ $A D = 4 a$ ，代入比例式得， $\frac{4 a}{D Q} = \frac{D Q}{a}$ ，

解得， $D Q = 2 a$ （负值舍去）；

$A Q = \sqrt{A D^{2} + D Q^{2}} = 2 \sqrt{5} a$ ，

∴ $t a n ∠ D A Q = \frac{D Q}{A D} = \frac{1}{2}$ ， $s i n ∠ D A Q = \frac{D Q}{A Q} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，

∴ $\frac{B E}{A B} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\frac{B E}{A E} = \frac{1}{2}$ ，

∴ $B E = \frac{3 \sqrt{5} a}{5}$ ， $A E = \frac{6 \sqrt{5} a}{5}$ ，

则 $Q E = A Q - A E = \frac{4 \sqrt{5} a}{5}$ ，

$t a n ∠ A Q B = \frac{B E}{E Q} = \frac{3}{4}$ ；

②过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，

∵守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为 $\frac{\sqrt{5}}{4} a$ ，

∴当 $M N = \frac{\sqrt{5}}{4} a$ 时才能确保防守成功.

∵MN⊥AQ，

∴ $t a n ∠ A Q B = \frac{M N}{M Q} = \frac{3}{4}$ ，

∴ $M Q = \frac{\sqrt{5}}{3} a$ ，

$M E = E Q - M Q = \frac{7 \sqrt{5}}{15} a$ ，

∵ $∠ M O P + ∠ A P F = 90 °$ ， $∠ Q A D + ∠ A P F = 90 °$ ，

∴ $∠ M O P = ∠ Q A D$ ，

∴ $\frac{P M}{O M} = \frac{1}{2}$ ，

∵ $O M = \frac{1}{2} M N = \frac{\sqrt{5}}{8} a$ ，

$P M = \frac{1}{2} M O = \frac{\sqrt{5}}{16} a$ ，

∵ $\frac{M P}{O P} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，

∴ $P O = \frac{5}{16} a$ ，

$A P = E M + A E + P M = \frac{83 \sqrt{5} a}{48}$ ，

∵ $\frac{F P}{A P} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，

∴ $P F = \frac{83 a}{48}$ ，

$O F = P F - O P = \frac{17}{12} a$ ；

MN中点与AB的距离至少为 $\frac{17}{12} a$ 时才能确保防守成功..

（B卷）第一章 解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试

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