中考数学第一轮复习：三角形综合

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ 于E，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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2. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A ， B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

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3. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝45°，且AE＝AF＝ $\text{[math]}$ ，则平行四边形ABCD的周长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 8

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4. 已知菱形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 的长度恰为方程的 $\text{[math]}$ 两个实数根，则菱形 $\text{[math]}$ 的周长为（　　）

A . 12 B . 16 C . 20 D . 24

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5. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在同一平面内，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边的延长线上，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ， ④ $\text{[math]}$ ．其中正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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7. 如果正整数a、b、c满足等式 $\text{[math]}$ ，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 $\text{[math]}$ 的值为（）
a
b
c
3
4
5
8
6
10
15
8
17
24
10
26
…
…
…
x
14
y

A . 67 B . 34 C . 98 D . 73

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8. 如图， $\text{[math]}$ ，在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点D ，点E为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点G ，过点G作 $\text{[math]}$ 于点H ，点E沿 $\text{[math]}$ 方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x ，四边形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）

A . B . C . D .

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9. 如图，在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， △ABD ， △ACE ， △BCF都是等边三角形，下列结论中：① $\text{[math]}$ ；②四边形AEFD是平行四边形；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．正确的个数是（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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10. 如图，点P为定角 $\text{[math]}$ 平分线上的一个定点，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互补．若 $\text{[math]}$ 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的值不变 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的长不变 D . 四边形 $\text{[math]}$ 的面积不变

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11. 如图，在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则梯形 $\text{[math]}$ 的面积为．

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12. 矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦.3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.在△ABC中，∠C=90°，斜边AB=13，AC=12，则BC的长度为.

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14. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若 $\text{[math]}$ ，每个直角三角形的面积为15，则c的长为．

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15. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列条件：① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互余；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ，其中可以判定 $\text{[math]}$ 是直角三角形的有个．

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16. 如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是．

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17. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上以 $\text{[math]}$ 的速度由点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，同时，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上以 $\text{[math]}$ 的速度由点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动．它们运动的时间为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等时， $\text{[math]}$ 的值为．

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18. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，我们称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“旋补三角形”， $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ 叫做 $\text{[math]}$ 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有．
① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积相同；
② $\text{[math]}$ ；
③若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
④若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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19. 在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A ， C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为．

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20. 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，且与x轴相交于点B ．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是．

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21. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 绕点B旋转一定角度后得矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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22. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ． P为边 $\text{[math]}$ 上一动点，作 $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ 于点E，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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23. 如图，已知△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，用尺规作图法在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC．（不写作法，保留作图痕迹．）

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24. 如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证； $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ．

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25. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 上，点F在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

（2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的平分线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

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26. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，并说明理由；

（3）如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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27. 已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G．

（1）求证：AE⊥DF；

（2）若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．

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28. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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29. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F是直线 $\text{[math]}$ 上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，M、N分别是 $\text{[math]}$ 中点，当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，求t的值；

（2）若G、H分别从点A、C沿折线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动，与 $\text{[math]}$ 相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，求t的值；
②如图3，作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点P、Q，当四边形 $\text{[math]}$ 的面积是矩形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ 时，则t的值是 ▲ ．

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30. 如图

（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

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31. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求t的值；

（3）深入探索：若点P运动到边 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，求t的值．

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32. 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边，在 $\text{[math]}$ 下方作等边 $\text{[math]}$ ．

（1）直接写出 $\text{[math]}$ 的长， $\text{[math]}$ ；

（2）当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长；

（3）当 $\text{[math]}$ 时，求出 $\text{[math]}$ 的值．

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33. 在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据勾股定理，我们可以求得这两个这点间的距离 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 在坐标轴上或平行（垂直）于坐标轴的直线上时，两点间的距离可简化为 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
请利用以上结论，回答下列问题：

（1）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 两点间的距离为；

（2）已知 $\text{[math]}$ 在平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线上，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为5，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为－2，则 $\text{[math]}$ 点两之间的距离为；

（3）已知一个三角形各顶点的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请判定此三角形的形状，并说明理由．

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34.

（1）问题提出
在平面内，已知线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最小值为．

（2）问题探究
如图1，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是边 $\text{[math]}$ 的中点，Q是边 $\text{[math]}$ 上一动点，将三角形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线翻折，得到三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

（3）问题解决
如图2，平行四边形 $\text{[math]}$ 为某公园平面示意图，扇形 $\text{[math]}$ 为该公园的人口广场，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧 $\text{[math]}$ 上找一点P ，沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 修两条绿色通道，并在 $\text{[math]}$ 上方和 $\text{[math]}$ 右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域 $\text{[math]}$ 面积的最小值．

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35. 综合与实践
问题情境：在数学活动课上，数学老师让同学们用一张矩形纸片进行探究活动．

小亮准备了矩形纸片 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ．

（1）观察发现：如图1，当点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 边上时，小亮发现 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 存在一定的数量关系，其数量关系是．

（2）探索猜想：如图2，当点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 内部时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ．试猜想线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

（3）拓展延伸：当点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 内部时，若 $\text{[math]}$ ，直接写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

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中考数学第一轮复习：三角形综合

一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、解答题

五、综合题

六、实践探究题

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a	b	c
3	4	5
8	6	10
15	8	17
24	10	26
…	…	…
x	14	y

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