华师大版备考2023中考数学二轮复习专题38 探索数与式的规律

1. 有一列按一定规律排列的式子：﹣3m，9m，﹣27m，81m，﹣243m，…，则第n个式子是（）

A . （﹣3）ⁿm B . （﹣3）ⁿ⁺¹m C . 3ⁿm D . ﹣3ⁿm

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2. 观察下列关于x的单项式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …按照上述规律，则第2022个单项式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 计算： $\text{[math]}$ 的结果是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 观察后面一组单项式：-4， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，根据你发现的规律，则第7个单项式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4.依次继续下去，第2022次输出的结果是（）

A . 8 B . 4 C . 2 D . 1

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6. 《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 观察下列等式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试利用上述规律判断算式 $\text{[math]}$ 结果的末位数字是（）

A . 0 B . 1 C . 3 D . 7

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8. 将实数1，2，3，6，...按右图所示方式排列．若用(a，b)表示第a排从左向右第b个数，则(3，1)与(21，5)表示的两数之积是（）

A . 6 B . 12 C . 18 D . 36

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9. 若a是不为2的有理数，则我们把 $\text{[math]}$ 称为a的“奇特数”.如：4的“奇特数”是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“奇特数”是 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“奇特数”， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“奇特数”， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“奇特数”，…，以此类推，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，在平面直角坐标系上有点 $\text{[math]}$ （1，0），点 $\text{[math]}$ 第一次跳动至点A（-1，1），第二次点 $\text{[math]}$ 跳动至点 $\text{[math]}$ （2，1），第三次点 $\text{[math]}$ 跳动至点 $\text{[math]}$ （-2，2），第四次点 $\text{[math]}$ 跳动至点 $\text{[math]}$ （3，2），……依此规律跳动下去，则点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的距离是（）

A . 2023 B . 2022 C . 2021 D . 2020

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11. 图是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图中的 $\text{[math]}$ ，按此规律继续演化，则线段 $\text{[math]}$ 的长为

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12. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，．．．则 $\text{[math]}$ 的值为．

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13. 如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁.凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室.李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室.他输入的密码是.
数学兴趣活动室欢迎你！
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 密码

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14. —动点P从数轴上的原点出发，按下列规则运动：①沿数轴的正方向先前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行.②已知点P每秒只能前进或后退1个单位，设 $\text{[math]}$ 表示第n秒点P在数轴上的位置所对应的数，则 $\text{[math]}$ 为.

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15. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半”．则第二十日蒲生长的长度为尺．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转到 $\text{[math]}$ 的位置，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别落在点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，再将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转到 $\text{[math]}$ 的位置，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转到 $\text{[math]}$ 的位置，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，依次进行下去….若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为．

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17. 阅读下题的计算方法：
计算 $\text{[math]}$ .

解：原式 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： $\text{[math]}$

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18. 我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质.

探索数的神秘性质
素材	尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作 $\text{[math]}$ 算术入门 $\text{[math]}$ 中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数 $\text{[math]}$ 的立方都可以写成 $\text{[math]}$ 个连续奇数之和.	举例论证： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；请你按规律写出： $\text{[math]}$ ▲ .
规律总结	当 $\text{[math]}$ 是奇数7时，则等号右边式子中的中间数 $\text{[math]}$ 即第4个数 $\text{[math]}$ 为 ▲ ；	当 $\text{[math]}$ 为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数 $\text{[math]}$ 即第5和第6个数 $\text{[math]}$ 为 ▲ .
综合应用	利用上面结论计算： $\text{[math]}$ .
拓展延伸	我们还发现以下规律：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正整数，如果将 $\text{[math]}$ 进行如图所示的“分解”：若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为不大于 $\text{[math]}$ 的正整数 $\text{[math]}$ 的分解中有奇数31，则 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ .

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19. 有一台功能单一的计算器，只能完成对任意两个整数求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 $\text{[math]}$ ，只显示不运算，再输入整数 $\text{[math]}$ ，显示 $\text{[math]}$ 的结果．比如依次输入1，2，则显示结果1，若此后再输入一个整数，则显示与前面运算结果进行求差后再取绝对值的运算结果．

（1）若小明依次输入−1，0，1，则显示；

（2）若小明将2，3，4，5，打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为；所有显示结果的最大值为；

（3）若小明依次输入四个连续整数n， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中n为整数），则显示结果为；

（4）若小明将四个连续整数n， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中n为整数），打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为；

（5）若小明将1到 $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个整数打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最大值为．

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20. 根据学习“数与式”的经验，通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下是探究过程，请补充完整．

（1）具体运算，发现规律．
特例1． $\text{[math]}$ ．特例2． $\text{[math]}$ ，特例3． $\text{[math]}$ ，特例4． $\text{[math]}$ ，
特例5．．

（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．

（3）证明你的猜想．

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21. 对于有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“相对关系值”为 $\text{[math]}$ ，例如， $\text{[math]}$ ，则2和3关于1的“相对关系值”为3．

（1） -4和6关于2的“相对关系值”为；

（2）若 $\text{[math]}$ 和3关于1的“相对关系值”为7，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于1的“相对关系值”为1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于2的“相对关系值”为1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于3的“相对关系值”为1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于101的“相对关系值”为1．
① $\text{[math]}$ 的最大值为；

②直接写出所有 $\text{[math]}$ 的值．（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

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22. 如图，把数字－1，2，－3，4，－5，…，998，－999，1000，－1001按下图的方式排成一个长方形的阵列.如图，用一个十字型框，可以框住5个数，平移十字型框，可以框住另外的5个数.

（1）求图中框出的5个数之和；

（2）设所框住的5个数中，中间的数字为a，求所框住的5个数之和；

（3）所框住的5数之和能否等于861？若能请求出所框住的5个数，若不能，请说明理由.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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