浙教版备考2023年中考数学一轮复习56.三角形的综合

1. $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 厘米， $\text{[math]}$ 厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等时，v的值为（）

A . 2.5 B . 3 C . 2.25或3 D . 1或5

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2. 已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则线段OP长的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，M，A，N是直线l上的三点，AM=3 ， AN=5， P是直线l外一点，且∠PAN＝60°， AP=1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A . 直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B . 直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C . 等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D . 等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形

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4. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将 $\text{[math]}$ 在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A . B . C . D .

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5. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ，点M从点C出发沿CB方向以 $\text{[math]}$ 的速度匀速运动到点B ，同时点N从点C出发沿射线CA方向以 $\text{[math]}$ 的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作 $\text{[math]}$ 交AB于点P ，连接MN ， NP ，作 $\text{[math]}$ 关于直线MP对称的 $\text{[math]}$ ，设运动时间为ts ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）

A . B . C . D .

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6. 如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S_四_边_形AOBO $\text{[math]}$ ；⑤S_△AOC+S_△AOB= $\text{[math]}$ ．其中正确的结论是（　　）

A . ①②③⑤ B . ①②③④ C . ①②③④⑤ D . ①②③

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7. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ 是外角 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 下列结论：
$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点；

$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时， $\text{[math]}$ ．

其中正确的有个．（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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9. 如图， $\text{[math]}$ ABC的三条边相等，三个内角也相等，且 $\text{[math]}$ ，连接DE，DF，EF，CD与BE交于H点，以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ BDE与 $\text{[math]}$ CFD的面积相等；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的是（）

A . ①②③④ B . ①② C . ②③④ D . ③④

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10. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，分别以AB和AC为斜边向 $\text{[math]}$ 的外侧作等腰 $\text{[math]}$ 和等腰 $\text{[math]}$ ，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN ．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ，④ $\text{[math]}$ ，其中结论正确的个数为（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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11. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿 $\text{[math]}$ 运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积等于6．

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12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．

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13. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若点P是 $\text{[math]}$ 内一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 的中点，F是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，线段 $\text{[math]}$ 绕点D逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，当点F运动时， $\text{[math]}$ 的最小值是．

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15. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在 $\text{[math]}$ 的内部（不包括边上），且 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 的面积的一半，设点D为 $\text{[math]}$ 的重心，点P、D两点之间的距离为d，那么d的最小值为．

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16. 如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点D从点A出发，沿线段 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 所在的直线于点F，连结 $\text{[math]}$ ，设点D运动时间为t秒，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，则t=秒.

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17. 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 $\text{[math]}$ cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．

（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；

（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？

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18. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点D，在DA上取点E，使 $\text{[math]}$ ，连接BE、CE．

（1）直接写出CE与AB的位置关系；

（2）如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点D旋转，得到 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与点B，E对应），连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 旋转的过程中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；

（3）如图3，当 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转30°时，射线 $\text{[math]}$ 与AD、 $\text{[math]}$ 分别交于点G、F，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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19. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；

（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 $\text{[math]}$ ， ED＝12，求EM的长．

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20. 如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．

（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；

（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．

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21. 【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

（1）小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明 $\text{[math]}$ ADE≌ $\text{[math]}$ ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．

（2）【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．

（3）【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝ $\text{[math]}$ ， AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．

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22. 如图

（1）如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC．线段AD与BC的数量关系为；

（2）如图2，将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．

（3）如图，若 $\text{[math]}$ ，点C是线段AB外一动点， $\text{[math]}$ ，连接BC，
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值 ▲ ；
②若以BC为斜边作 $\text{[math]}$ ，（B、C、D三点按顺时针排列）， $\text{[math]}$ ，连接AD，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出AD的值．

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23. 综合与实践

（1）问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．求证 $\text{[math]}$ ．

独立思考：

请解答王老师提出的问题．

（2）实践探究：
在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长 $\text{[math]}$ 至点E，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点F，点G，H分别在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在图中找出与 $\text{[math]}$ 相等的线段，并证明．”

（3）问题解决：
数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当 $\text{[math]}$ 时，若给出 $\text{[math]}$ 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．”

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24.

（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．连接BD，CE．
①求 $\text{[math]}$ 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

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25.

（1）【情境再现】
甲、乙两个含 $\text{[math]}$ 角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接 $\text{[math]}$ ，如图③所示， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于E， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F，通过证明 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ．
请你证明： $\text{[math]}$ ．

（2）【迁移应用】
延长 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系．

（3）【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含 $\text{[math]}$ 角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接 $\text{[math]}$ ，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

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26. 已知 $\text{[math]}$ ，点A，B分别在射线 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ .

（1）如图①，若 $\text{[math]}$ ，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .判断OD与 $\text{[math]}$ 有什么数量关系?证明你的结论：

（2）如图②，若 $\text{[math]}$ ，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：

（3）如图③，若 $\text{[math]}$ ，当点A，B运动到什么位置时， $\text{[math]}$ 的面积最大?请说明理由，并求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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