浙教版备考2022年中考数学一轮复习专题42 探索数与式的规律

修改时间：2022-01-15 浏览次数：142 类型：一轮复习编辑

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一、单选题

1. 大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2³＝3+5，3³＝7+9+11，4³＝13+15+17+19，……若m³分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是（）

A . 9 B . 10 C . 11 D . 12

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2. 观察下列各数的个位数字的变化规律：2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，……通过观察，你认为2²⁰²¹的个位数字应该是（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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3. 如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为12，我们发现第1次输出的结果为6，第2次输出的结果为3，…，第2021次输出的结果为（）

A . 6 B . 3 C . 12 D . 10

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4. 已知最近的一届世界运动会、亚运会、奥运会分别于2017年、2018年、2020年举办，若这三项运动会都是每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办（）

A . 2066年 B . 2067年 C . 2068年 D . 2069年

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5. 若 $\text{[math]}$ ，则使 $\text{[math]}$ 最接近 $\text{[math]}$ 的正整数 $\text{[math]}$ 是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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6. 一质点 $\text{[math]}$ 从距原点8个单位的 $\text{[math]}$ 点处向原点方向跳动.第一次跳动到 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处，第二次从 $\text{[math]}$ 跳到 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处，第三次从点 $\text{[math]}$ 跳到 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处，如此不断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知a₁=x+1（x≠0且x≠1），a₂= $\text{[math]}$ ，a₃= $\text{[math]}$ ……，a_n= $\text{[math]}$ ，则a₂₀₂₁等于（）

A . -x+1 B . x+1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表所示是两种运算对应关系的一组实例：

指数运算	2¹=2	2²=4	2³=8	……	3¹=3	3²=9	3³=27	……
新运算	log₂2= 1	log₂4= 2	log₂8= 3	……	log₃3= 1	log₃9= 2	log₃27= 3	……

根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log₂16= 4，②log₅ 25=5，③log₂ $\text{[math]}$ =-1．其中正确的是（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

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9. 如图，在平面直角坐标系中，从点P₁(-1，0) ，P₂(-1，-1)，P₃(1，-1)，P₄(1，1)，P₅(-2，1)，P₆(-2．-2) ……依次进行下去，则P₂₀₁₁的坐标为（）

A . (506，-506) B . (-506，505) C . (505，505) D . (506，506)

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10. 将1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，按如图所示的方式排列．若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(15，8)表示的数是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 设
$\text{[math]}$
则与s最接近的整数是（）

A . 2009 B . 2006 C . 2007 D . 2008

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二、填空题

12. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数为.

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13. 给定一个定义：对于排好顺序的三个数：x₁ ， x₂ ， x₃称为数列x₁ ， x₂ ， x₃ ，计算|x₁|， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将这三个数的最小值称为数列x₁ ， x₂ ， x₃的价值．例如：对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，所以数列2，﹣1，3的价值为 $\text{[math]}$ ．我们发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其对应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为 $\text{[math]}$ ；数列3，﹣1，2的价值为1；经过研究发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为 $\text{[math]}$ ，根据以上材料，回答下列问题：

（1）数列4，3，2的价值为；

（2）将“4，3，﹣2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，则这些数列的价值的最小值.

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14. 观察按下列规则排成的一列数： $\text{[math]}$ 在式中，从左起第m个数记为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，则m=. 当 $\text{[math]}$ 时，则m=.

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15. 观察下列图形，它是把一个三角形分别连结这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图 $\text{[math]}$ )；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，...，将这种做法继续下去(如图(2)，图(3...)，则图6中挖去三角形的个数为

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16. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，2) ……按这样的规律运动，第2021次运动后，点P的坐标是

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17. 用计算器计算： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ……，由此猜测 $\text{[math]}$ 的结果为

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18. 按一定规律排成的一列数依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……，按此规律排下去，这列数中的第10个数是．

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三、综合题

19. 观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ；

④ $\text{[math]}$ ．

根据以上算式的规律，解答下列问题：

（1） 1³+2³+3³+4³+5³=()²=；

（2） $\text{[math]}$ =；（用含n的代数式表示）

（3）简便计算：11³+12³+13³+…+19³+20³ ．

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20. 某餐饮公司对外招商承包，有符合条件的甲、乙两个企业。甲每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润5万元，以后每年比前一年增5万元；乙每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴利润1.5 万元，以后每半年比前一半年增加1.5万元．

（1）如果企业乙承包一年，则需上缴的总利润为多少万元？

（2）如果承包4年，你认为应该承包给哪家企业，总公司获利多？为什么？

（3）如果承包n年，请用含n的代数式分别表示两企业上缴的总利润(单位：万元)．

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21. 阅读与探究
请阅读下列材料，井解答相应的问题：幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则具有这种性质的数字方阵为“幻方”，中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等.

例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到 $\text{[math]}$ 的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.

现要用9个数3，4，5，6，7，8，9，10，11构造一个三阶幻方.

（1）幻方最中间的数字应等于.

（2）请将构造的幻方填写在下面 $\text{[math]}$ 的方格中.

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22.

（1）请同学们运用所学的数学知识，完成下表：

a

0.000001

0.001

1

1000

1000000

$\text{[math]}$

（2）观察上表并说明当数a的小数点向右(或向左)移动时，它的立方根 $\text{[math]}$ 的小数点的移动规律是怎样的，写出你发现的规律；

（3）运用你所发现的规律，解决下列问题：
已知 $\text{[math]}$ ≈1.738，求：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$

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23. 用计算器探索：

（1） $\text{[math]}$ =；

（2） $\text{[math]}$ = ；

（3） $\text{[math]}$ =；

（4）由此猜想： $\text{[math]}$ 的值．

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24. 试验与探究：我们知道分数 $\text{[math]}$ 写为小数即 $\text{[math]}$ ，反之，无限循环小数 $\text{[math]}$ 写成分数即 $\text{[math]}$ ．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在以 $\text{[math]}$ 为例进行讨论：设 $\text{[math]}$ =x，由 $\text{[math]}$ =0.7777…可知，10x-x=7.77…-0.777…=7，即10x-7x=7，解方程，得x= $\text{[math]}$ ．于是得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
请仿照_上述例题完成下列各题：

（1）请你把无限循环小数 $\text{[math]}$ 写成分数，即 $\text{[math]}$ =

（2）你能化无限循环小数 $\text{[math]}$ 为分数吗？请仿照上述例子求解．

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25. 已知n组正整数：
第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，7；第四组：24，10，26 ；第五组：35，12，37；第六组：48， 14，50，……

（1）是否存在一组数，即符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由．

（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．

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26. [阅读材料]
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算 $\text{[math]}$ 的近似值．

小明的方法：因为 $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$ ，

所以设 $\text{[math]}$ =3+k(0<k<1)，则( $\text{[math]}$ )²=(3+k)² ．

所以13=9+6k+k² ．所以13≈9+6k．解得k≈ $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$ ≈3+ $\text{[math]}$ ≈3.67．

[解决问题]

（1）请你依照小明的方法，估算 $\text{[math]}$ 的近似值．

（2）请结合上述具体实例，概括出估算 $\text{[math]}$ 的公式：已知非负整数a，b，m，若a< $\text{[math]}$ <a+1，且m=a²+b，则 $\text{[math]}$ ≈(用含a，b的代数式表示)．

（3）请用(2)中的结论估算 $\text{[math]}$ 的近似值．

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27.

（1）填表：

a

0.000001

0.001

1

1000

1000000

$\text{[math]}$

（2）由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律，

（3）根据你发现的规律填空：
①已知 $\text{[math]}$ ≈1.442，则 $\text{[math]}$ ≈， $\text{[math]}$ ≈；

②已知 $\text{[math]}$ ≈0.07697，则 $\text{[math]}$ ≈

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28. 阅读材料，求值：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵ ．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵ ，将等式两边同时乘以2得：

2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶

将下式减去上式得2S﹣S=2²⁰¹⁶﹣1

即S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶﹣1

请你仿照此法计算：

（1） 1+2+2²+2³+…+2¹⁰

（2） 1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）

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29. 已知下列等式：①2²-1²=3；②3²-2²=5③4²-3²=7，…

（1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：；

（2）请你找出规律，写出第 n 个式子，并说明式子成立的理由．

（3）利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+…+2015+2017．

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30. 观察下列各式及验证过程. $\text{[math]}$ ，验证： $\text{[math]}$ ，验证： $\text{[math]}$ ，验证：
$\text{[math]}$ .

（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $\text{[math]}$ 的变形结果并进行验证.

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2的自然数)表示的等式，并进行验证.

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a	0.000001	0.001	1	1000	1000000
$\text{[math]}$

a	0.000001	0.001	1	1000	1000000
$\text{[math]}$

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二、填空题

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