广东省湛江市2021届高三下学期数学二模试卷

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . 2 B . -2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 49 B . 56 C . 59 D . 64

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4. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为 $\text{[math]}$ 的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）

A . 16 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 21

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5. 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象大致为（）

A . B . C . D .

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6. 在 $\text{[math]}$ 的等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . -1

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7. 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点，过椭圆 $\text{[math]}$ 的下顶点且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与以点 $\text{[math]}$ 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 有三个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 某学校组织学生参加劳动实践，学生需要手工制作一种模具，劳动实践结束后，学校任选了一个班级，统计了该班每人制作的合格品个数，其结果用茎叶图记录如下：

由以上统计结果，下列判断正确的是（）

A . 男生制作合格品个数的方差更大 B . 女生制作合格品个数的分布更接近正态分布. C . 男生制作合格品个数的分布更接近正态分布 D . 该班女生制作合格模具的平均能力要低于男生

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10. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是奇函数 D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 B . $\text{[math]}$ 恒成立 C . $\text{[math]}$ 恒成立 D . $\text{[math]}$ 恒成立

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13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为.

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14. 现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为.

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15. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为.

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16. 写出一个以 $\text{[math]}$ 为对称中心的偶函数，该函数的最小正周期是.

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17. 如图，在平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）求BC 的值.

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18. 已知：数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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19. 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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20. 某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元.小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单（含20单）每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元.小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下直方图（如图2）.

（1）分别求出“销售员”的日薪 $\text{[math]}$ （单位：元）与销售件数 $\text{[math]}$ 的函数关系式、“送外卖员”的日薪 $\text{[math]}$ （单位：元）与所送单数 $\text{[math]}$ 的函数关系式；

（2）若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪 $\text{[math]}$ 和“送外卖员”的日薪 $\text{[math]}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）的数学期望，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由.

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21. 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上时，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为-2.

（1）求抛物线的方程；

（2）在线段 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：点 $\text{[math]}$ 总在定直线上.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数.

（1）讨论 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内极值点的个数；

（2）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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广东省湛江市2021届高三下学期数学二模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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