湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题14 最值问题

修改时间：2021-06-04 浏览次数：197 类型：三轮冲刺编辑

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一、单选题

1. 已知实数a，b，若a＞b， $\text{[math]}$ ，则ab的最大值是（　　）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 2 $\text{[math]}$

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2. 从 $\text{[math]}$ ，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作 $\text{[math]}$ ）构成一个数组 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ，且将 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 视为同一个数组），若满足：对于任意的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值（）

A . 10 B . 6 C . 5 D . 4

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3. 定义 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；已知函数 $\text{[math]}$ ，则该函数的最大值是（）

A . -15 B . -9 C . -6 D . 6

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4. 代数式2016﹣a²+2ab﹣b²的最大值是（　　）

A . 2015 B . 2016 C . 2017 D . 不存在

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5. 已知0≤x＜ $\text{[math]}$ ，那么函数y=﹣2x²+8x﹣6的最大值是（　　）

A . -6 B . =2.5 C . 2 D . 不能确定

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6. 已知半径为1的半圆，其内接等腰梯形下底为半圆的直径，那么这个梯形周长的最大值是（　　）

A . 4 B . 5 C . 8 D . 10

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7.
如图，点A在半径为3的⊙O内，OA= $\text{[math]}$ ， P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

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8.
如图，长为10的线段AB的端点分别在x轴，y轴的正半轴上滑动（线段AB的长保持不变），⊙O与线段AB相切，则⊙O面积的最大值是（　　）

A . 100π B . 25π C . 22π D . 20π

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9.
如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2 $\text{[math]}$ ，以AB为直径作⊙M，点C是优弧 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 2 $\text{[math]}$ -2 D . 4-2 $\text{[math]}$

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10. 如图，⊙O是以原点为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作⊙O的一条切线PQ ， Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）

A . 3 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点.在直线y＝ $\text{[math]}$ x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（　　）

A . 2.5 B . 2.4 C . 2.8 D . 3

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12.
如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为（　　）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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二、填空题

13. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为．

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14. 二次函数 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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15. 如图，点P是 $\text{[math]}$ 的角平分线上一点， $\text{[math]}$ ，垂足为点D，且 $\text{[math]}$ ，点M是射线 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ，M ， N分别是 $\text{[math]}$ 边上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 周长的最小值是．

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17. 直线y=x+a-3与双曲线y= $\text{[math]}$ 交于A，B两点，则当线段A，B的长度取最小值时，a的值为．

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18. 如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为．

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19. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内部的一个动点，且满足 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长的最小值为.

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20.
如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．

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21. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)、点B(3，0)、点C(4，y₁)，若点D(x₂ ， y₂)是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y＝ax²+bx+c的最小值为﹣4a；

②若﹣1≤x₂≤4，则0≤y₂≤5a；

③若y₂＞y₁ ，则x₂＞4；

④一元二次方程cx²+bx+a＝0的两个根为﹣1和 $\text{[math]}$

其中符合题意结论的是（填序号）．

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22.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．

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三、综合题

23. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：

∵（ $\text{[math]}$ ）²=a﹣2 $\text{[math]}$ +b≥0

∴a+b≥2 $\text{[math]}$ ，当且仅当a=b时取等号．

请利用上述结论解决以下问题：

（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+ $\text{[math]}$ 的最小值为．当x＜0时，x+ $\text{[math]}$ 的最大值为；

（2）若y= $\text{[math]}$ ，（x＞﹣1），求y的最小值；

（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ， △AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

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24. 已知 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的函数，若其图像经过点 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为函数图象上的“偏离点”．例如：直线 $\text{[math]}$ 上存在“偏离点” $\text{[math]}$ ．

（1）在双曲线 $\text{[math]}$ 上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）若抛物线 $\text{[math]}$ 上有“偏离点”，且“偏离点”为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

（3）若函数 $\text{[math]}$ 的图像上存在唯一的一个“偏离点”，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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25. 根据下图回答问题：

（1）问题提出
如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

（2）问题探究
如图②，半圆O的直径 $\text{[math]}$ ，C是半圆 $\text{[math]}$ 的中点，点D在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 上的动点，试求 $\text{[math]}$ 的最小值．

（3）问题解决
如图③，扇形 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 选点P，在边 $\text{[math]}$ 上选点E，在边 $\text{[math]}$ 上选点F，求 $\text{[math]}$ 的长度的最小值．

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26. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，关于x的二次函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当 $\text{[math]}$ 时，y的最大值与最小值的差；

（3）一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与二次函数 $\text{[math]}$ 的图象交点的横坐标分别是a和b，且 $\text{[math]}$ ，求m的取值范围．

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27. 有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展.如菱形，正方形等都是“和睦四边形”.

（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；

（2）如图2，直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点.点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动.点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动.P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒.当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；

（3）如图3，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD=OC．抛物线还满足：① $\text{[math]}$ ；②顶点D在以AB为直径的圆上. 点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上任意一点，且 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 恒成立，求m的最小值.

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28. 如图1，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c的对称轴为直线x＝﹣ $\text{[math]}$ ，与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C ，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E ，与y轴交于点F ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD、PF ，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G ，使得PG﹣ $\text{[math]}$ EG的值最小，求出PG﹣ $\text{[math]}$ EG的最小值．

（3）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，请求出点N的坐标．

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29. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，点E为x轴正半轴上的一个动点，过点A、B、E作 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交圆于点D，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ．

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长度．

（3）如图2，连结 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的最小值及当 $\text{[math]}$ 最小时 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心C的坐标．

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30. 在平面直角坐标系 xOy 中，等腰直角 $\text{[math]}$ 的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A ， B在x轴上，且 $\text{[math]}$ ，抛物线经过A ， B ， C三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线l交抛物线于M ， N两点，如图2所示．
①求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．

②已知 $\text{[math]}$ 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

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