江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

1. 在 $\text{[math]}$ 中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，则a等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的否定是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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3. 已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户.若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为（）

A . 20 B . 30 C . 36 D . 40

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4. 古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即 $\text{[math]}$ ，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式 $\text{[math]}$ 中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”，类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式 $\text{[math]}$ 求体积（在正四面体中，D表示正四面体的棱长；在正方体中，D表示棱长），假设运用此体积公式求得球（直径为a）、正四面体（正四面体棱长为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，抛物线C上一点 $\text{[math]}$ 到焦点F的距离为 $\text{[math]}$ .则实数p值为（）

A . 2 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 设A为平面 $\text{[math]}$ 上一点，过点A的直线AO在 $\text{[math]}$ 平面上的射影为AB，AC为 $\text{[math]}$ 平面内的一条直线，令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则这三个角存在一个余弦关系： $\text{[math]}$ (其中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面 $\text{[math]}$ 所成的角是 $\text{[math]}$ ，若直线l在 $\text{[math]}$ 内的射影与 $\text{[math]}$ 内的直线m所成角为 $\text{[math]}$ ，则直线l与直线m所成的角是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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9. 双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为F，右准线为l，点P是双曲线C上一点，记点P到直线l的距离为d，双曲线C的离心率为e，则下列条件中是 $\text{[math]}$ 的充分不必要条件有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 在直角梯形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E为DC中点，现将 $\text{[math]}$ 沿AE折起，得到一个四棱锥 $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的有（）

A . 在 $\text{[math]}$ 沿AE折起的过程中，四棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$ B . 在 $\text{[math]}$ 沿AE折起的过程中，异面直线AD与BC所成的角恒为 $\text{[math]}$ C . 在 $\text{[math]}$ 沿AE折起的过程中，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ D . 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，当D在EC上的射影恰好为EC的中点F时，DB与平面ABCE所成的角的正切为 $\text{[math]}$

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11. 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，下列说法正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有两解 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定是锐角三角形 C . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 是充要条件 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 形状是等腰或直角三角形

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12. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，M为 $\text{[math]}$ 的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为 $\text{[math]}$ B . 若N到直线 $\text{[math]}$ 与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线 C . 若 $\text{[math]}$ 与AB所成的角为 $\text{[math]}$ ，则N的轨迹为双曲线 D . 若MN与平面ABCD所成的角为 $\text{[math]}$ ，则N的轨迹为椭圆

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13. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，则m的取值范围为.

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14. 已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点.直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C相交于A，B两点，A，B的中点为P，且直线OP的斜率 $\text{[math]}$ ，则椭圆C的方程为.

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15. 已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2，对角线 $\text{[math]}$ ，现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，则折得几何体 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为.

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16. 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为，当 $\text{[math]}$ 最小时， $\text{[math]}$ 的面积为.

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17. 已知 $\text{[math]}$ ，p：方程 $\text{[math]}$ 表示焦点在y轴上的椭圆；q：方程 $\text{[math]}$ 表示双曲线.若p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围.

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18. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这三个条件中有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解.
在锐角 $\text{[math]}$ 中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求C；

（2）若M为边AB上一点，且 $\text{[math]}$ ，求CM的长.

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19. 如图在直棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、AC、 $\text{[math]}$ 的中点分别为D、E、F.

（1）求证 $\text{[math]}$ 平面BEF；

（2）若异面直线 $\text{[math]}$ 与BF所成的角为 $\text{[math]}$ ，且BC与平面BEF所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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20. 如图，四边形ABCD的四个顶点共圆， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求BD和 $\text{[math]}$ 的值；

（2）求四边形ABCD的周长的最大值.

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21. 如图，在平面四边形DACB中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将 $\text{[math]}$ 沿AB翻折至 $\text{[math]}$ ，记二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面ABC所成的角的正弦值.

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22. 如图所示，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，其右准线方程为 $\text{[math]}$ ，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.

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