2017年湖南省常德市高考数学一模试卷（理科）

修改时间：2024-07-12 浏览次数：1207 类型：高考模拟编辑

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一、选择题

1. 已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|x²﹣6x+8＜0}，则M∩N=（）

A . （1，3） B . （2，3） C . （2，4） D . （1，4）

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2. 复数z满足 $\text{[math]}$ （S为虚数单位），则|z|=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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3. 已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S₃=14，a₃=8，则a₆=（）

A . 16 B . 32 C . 64 D . 128

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4. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=± $\text{[math]}$ x，则双曲线C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知单位向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图所示，在△ABC内随机选取一点P，则△PBC的面积不超过△ABC面积一半的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 把函数f（x）= $\text{[math]}$ cos2x﹣sin2x的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在下列哪个区间是单调递减的（）

A . [﹣ $\text{[math]}$ ，0] B . [﹣π，0] C . [﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] D . [0， $\text{[math]}$ ]

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8. 执行如图所示程序框图，则输出的S的值为（）

A . 4 B . 8 C . ﹣20 D . ﹣4

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9. 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸^① ，头圈一尺三^② ．逐节多三分^③ ，逐圈少分三^④ ．一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺）问：此民谣提出的问题的答案是（）

A . 72.705尺 B . 61.395尺 C . 61.905尺 D . 73.995尺

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10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A、B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为（）

A . $\text{[math]}$ B . ±1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 设函数f（x）=|x²﹣2x﹣1|，若m＞n＞1，且f（m）=f（n），则mn的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . （1，3） D . （1，3]

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二、填空题

13. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2^x﹣1，则f（﹣2）=．

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14. $\text{[math]}$ 的展开式中，x³的系数是．（用数字填写答案）

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15. 已知P（x，y）为不等式组 $\text{[math]}$ 表示的平面区域M内任意一点，若目标函数z=5x+3y的最大值等于平面区域M的面积，则m=．

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16. 已知数列{a_n}中，a₁＜0，a_n+1= $\text{[math]}$ ，数列{b_n}满足：b_n=na_n（n∈N^*），设S_n为数列{b_n}的前n项和，当n=7时S_n有最小值，则a₁的取值范围是．

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三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ =0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b= $\text{[math]}$ ，a+c=4，求△ABC的面积．

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18. 某网络营销部门为了统计某市网友2016年12月12日的网购情况，从该市当天参与网购的顾客中随机抽查了男女各30人，统计其网购金额，得到如下频率分布直方图：
网购达人
非网购达人
合计
男性
30
女性
12
30
合计
60
若网购金额超过2千元的顾客称为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客称为“非网购达人”．
（Ⅰ）若抽取的“网购达人”中女性占12人，请根据条件完成上面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“网购达人”与性别有关？
（Ⅱ）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定12人，若需从这12人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．
（参考公式： $\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d）
P（K²≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=4 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的余弦值．

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，过左焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆C相交，所得弦长为1，斜率为k（k≠0）的直线l过点（1，0），且与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使得无论k取何值， $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=xlnx﹣mx的图象与直线y=﹣1相切．
（Ⅰ）求m的值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=ax³ ，设h（x）=f（x）﹣g（x），讨论函数h（x）的零点个数．

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22. 直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），直线l与曲线C₁交于A，B两点．
（Ⅰ）求|AB|的长度；
（Ⅱ）若曲线C₂的参数方程为 $\text{[math]}$ （α为参数），P为曲线C₂上的任意一点，求△PAB的面积的最小值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣1|，x∈R
（Ⅰ）求不等式|f（x）﹣3|≤4的解集；
（Ⅱ）若f（x）+f（x+3）≥m²﹣2m恒成立，求实数m的取值范围．

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P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	网购达人	非网购达人	合计
男性			30
女性	12		30
合计			60

2017年湖南省常德市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题

二、填空题

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

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