已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4. P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F. 联结AP，画∠FPE=∠BAP...

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

上海市长宁区2018届九年级上学期数学期末考试试卷

已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4. P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F. 联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E.设PD=x，EF=y．

（1）、当点A、P、F在一条直线上时，求 $\text{[math]}$ ABF的面积；

（2）、如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）、联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．

举一反三

根据以上结论，解决以下问题：

(1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+ $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为____；

(2)应用：

①如图1，已知点P为双曲线y= $\text{[math]}$ (x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：

②如图2，已知点Q是双曲线y= $\text{[math]}$ (x>0)上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．

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