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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

北京海淀区2017-2018学年八年级上学期数学期末考试试卷

对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：

两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的一个中间分数，在表中还可以找到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中间分数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．把这个表一直写下去，可以找到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 更多的中间分数．

（1）、按上表的排列规律，完成下面的填空：

①上表中括号内应填的数为；

②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中间分数是；

（2）、写出分数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （a、b、c、d均为正整数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的一个中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；

（3）、若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ （m、n、s、 t均为正整数）都是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中间分数，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

举一反三

一列数b₀ ， b₁ ， b₂ ， …，具有下面的规律，b_2n+1=b_n ， b_2n+2=b_n+b_n+1 ，若b₀=1，则b₂₀₁₅的值是（　　）

a是不为1的有理数，我们把 $\text{[math]}$ 称为a的差倒数，如2的差倒数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的差倒数 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数…，依此类推， $\text{[math]}$ 的值是（）

观察下列等式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，把以上三个等式两边分别相加得： $\text{[math]}$ ．

杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：

观察下列等式：

⑴ $\text{[math]}$

⑵ $\text{[math]}$

⑶ $\text{[math]}$

⑷ $\text{[math]}$

……

根据此规律，第10个等式的右边应该是 $\text{[math]}$ ，则a的值是（）

如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：

①3²﹣1²＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，

②5²﹣3²＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，

③7²﹣5²＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，

④9²﹣7²＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．

…

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