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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

北京海淀区2017-2018学年八年级上学期数学期末考试试卷

对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：

两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的一个中间分数，在表中还可以找到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中间分数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．把这个表一直写下去，可以找到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 更多的中间分数．

（1）、按上表的排列规律，完成下面的填空：

①上表中括号内应填的数为；

②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中间分数是；

（2）、写出分数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （a、b、c、d均为正整数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的一个中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；

（3）、若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ （m、n、s、 t均为正整数）都是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中间分数，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

举一反三

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（）

对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（　　）

观察下列运算过程：

计算：1+2+2²+…+2¹⁰ ．

解：设S=1+2+2²+…+2¹⁰ ， ①

①×2得

2S=2+2²+2³+…+2¹¹ ， ②

②﹣①得

S=2¹¹﹣1．

所以，1+2+2²+…+2¹⁰=2¹¹﹣1

运用上面的计算方法计算：1+3+3²+…+3²⁰¹⁷={#blank#}1{#/blank#}．

桌子上有8只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这8只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（）．

有若干个数，第一个数记为a₁ ，第2个数记为a₂ ，第3个数记为a₃ ， ……，第n个数记为a_n ，若a₁＝﹣ $\text{[math]}$ ，从第二个数起，每一个数都是“1”与它前面那个数的差的倒数.

在数轴上，点 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ，将点 $\text{[math]}$ 沿数轴做如下移动，第1次将点 $\text{[math]}$ 向右移动2个单位长度到达点 $\text{[math]}$ ，第2次将点 $\text{[math]}$ 向左移动4个单位长度到达点 $\text{[math]}$ ，第3次将点 $\text{[math]}$ 向右移动6个单位长度到达点 $\text{[math]}$ ， …按该规律移动下去，第n次移动到点 $\text{[math]}$ 下列判断正确的是（）

结论Ⅰ：若点 $\text{[math]}$ 到原点的距离为7，则 $\text{[math]}$ ；

结论Ⅱ：当 $\text{[math]}$ 是奇数时， $\text{[math]}$

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