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题型：综合题题类：难易度：困难

吉林省吉林市吉林高新技术产业开发区2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合部分图形的面积为 $\text{[math]}$ ．

（1）、当点 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的值．

（2）、求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围．

（3）、当直线 $\text{[math]}$ 经过线段 $\text{[math]}$ 的中点时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

举一反三

如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？

如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任一点（不含端点O、A），二次函数y₁的图象过P、O两点，二次函数y₂的图象过P、A两点，它们的开口均向下，顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D．则当OD=AD=9时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）

一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为{#blank#}1{#/blank#}.

在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，则称这样的点为整点．例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是整点，如图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点M在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，过M作x轴的垂线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P ，当M从C运动到B的过程中，点P经过坐标系上整点的个数是（）

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形．

在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究．

实验操作：已知等边 $\text{[math]}$ 纸片中，点D，E分别是 $\text{[math]}$ 边上的点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．

【初步探究】当折痕 $\text{[math]}$ 平行 $\text{[math]}$ 时，完成下面探索任务：

（1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上时，求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形；

（2）如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 内部时，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【深入探究】当折痕 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不平行时，完成下面探索任务：

（4）当 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．

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