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题型：作图题题类：难易度：普通

重庆市鲁能巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，小明同学进行了关于矩形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形是矩形．可利用证明三角形的全等和平行四边形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空．

（1）、尺规作图：在四边形 $\text{[math]}$ 中，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （不要求写作法，保留作图痕迹）；

（2）、在（1）所作的图中，连接 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．（请补全下面的证明过程）

证明： $\text{[math]}$ ， ①______，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， ②______，

∴ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ③______，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．

请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④____________是矩形．

举一反三

如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．

下列说法正确的是（）

对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB=∠ABC，能判定▱ABCD是矩形的概率是{#blank#}1{#/blank#}．

如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的外角平分线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ .

正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点 $\text{[math]}$ 在对角线 $\text{[math]}$ 上（可与点 $\text{[math]}$ 重合）， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在正方形的边上．下面四个结论中，

①存在无数个四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

②存在无数个四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

③存在无数个四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

④至少存在一个四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．

所有正确结论的序号是{#blank#}1{#/blank#}．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，添加一个条件{#blank#}1{#/blank#}可使它成为矩形．

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