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题型：综合题题类：难易度：普通

广西南宁市青秀区第一初级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）尺规作图：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ （不要求写作法，保留作图痕迹）；

（3）在（2）的条件下，已知四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）

下列四个命题中错误的是（）

在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的长为{#blank#}1{#/blank#}．

【方法探索】

（1）如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．小明为了证明 $\text{[math]}$ ，用了如下两种方法：

构图方法

小明得到下列结论

你认为正确的结论是（写序号）

如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ．

Ⅰ．______

如图 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 分别作边 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别记为 $\text{[math]}$

① $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ．

Ⅱ．______

【类比探究】

（2）如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

①当点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上时，请你证明： $\text{[math]}$ ．

②当点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 所在的直线上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，请你画出图形并求出 $\text{[math]}$ 的长．

如图，菱形 $\text{[math]}$ 的三个顶点A，B，D在 $\text{[math]}$ 上．

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， $\text{[math]}$ ，点E、F分别是弦AD、DC上的点．

（1）若∠ABE=∠CBF，BE=BF．求证：BD是⊙O的直径．

（2）若 $\text{[math]}$ ， ∠D=2∠EBF=90°，AE=ED=2．求DF的长．

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